Гипотенуза: определение, свойства и формулы вычисления¶

Гипотенуза — это длинная сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Термин происходит от древнегреческого «гипотенуза» (ὑποτείνουσα), что означает «тянущаяся напротив». Гипотенуза является объектом классической евклидовой геометрии и одной из ключевых величин в тригонометрии. Длина гипотенузы всегда больше каждой из катетов прямоугольного треугольника.

¶Определение и обозначения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого равен 90°. Стороны треугольника, примыкающие к прямому углу, называются катетами, а сторона, противоположная прямому углу, — гипотенузой. В аналитической геометрии гипотенуза обычно обозначается буквой c, катеты — a и b.

Гипотенуза обладает рядом свойств:

• является диаметром описанной окружности прямоугольного треугольника (радиус описанной окружности равен половине гипотенузы);
• точка пересечения медиан прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы;
• середина гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин треугольника.

¶Теорема Пифагора

Основной способ вычисления длины гипотенузы — теорема Пифагора. Она устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника:

Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: c² = a² + b².

Отсюда следует формула для нахождения гипотенузы:

c = √(a² + b²)

Пример: при катетах a = 3 и b = 4 гипотенуза равна √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Тройка (3, 4, 5) — наиболее известная пифагорова тройка, то есть тройка натуральных чисел, удовлетворяющих теореме Пифагора. Другие примеры: (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25).

¶Вычисление по известным элементам

Гипотенузу можно найти, зная различные комбинации элементов треугольника.

¶По катету и углу

Если известен катет a и один из острых углов α, то:

• гипотенуза через катет, прилежащий к углу: c = a / cos α;
• гипотенуза через катет, противоположный углу: c = a / sin α.

¶По катету и другой стороне

Если известны катет a и гипотенуза c, второй катет находится как b = √(c² − a²). Если известны оба катета, гипотенуза вычисляется по формуле Пифагора, приведённой выше.

¶Через площадь

Площадь прямоугольного треугольника S = (a · b) / 2. Выразив произведение катетов через площадь (a · b = 2S) и подставив в теорему Пифагора, можно найти гипотенузу, зная площадь и один катет:

c = √(a² + (2S / a)²).

¶Через радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника выражается формулой r = (a + b − c) / 2. Отсюда:

c = a + b − 2r.

Эта формула полезна, когда известны катеты и радиус вписанной окружности.

¶Через медиану

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если известна медиана m, проведённая к гипотенузе, то c = 2m.

¶Тригонометрические соотношения

В прямоугольном треугольнике основные тригонометрические функции описываются через соотношения сторон:

Из этих определений следуют формулы, связывающие гипотенузу с катетами и углами: c = a / sin α, c = b / cos α, где a — катет против угла α, а b — катет при к нему.

¶Численные методы

При вычислениях на компьютере квадратный корень из суммы квадратов может приводить к переполнению при больших значениях катетов. Для повышения точности применяется формула:

c = √((|a| + |b|)² + ((|a| − |b|) · sign(a · b))²) / 2

или алгоритм Гиппарха, использующий вспомогательные переменные для избежания потери значащих цифр. В языках программирования стандартная функция hypot(a, b) реализует устойчивое вычисление.

¶Применение

Понятие гипотенузы и теоремы Пифагора применяются в многочисленных областях:

• Физика и инженерия — вычисление результирующей векторной суммы, определение длины диагонали, расчёт косинусного угла.
• Строительство и архитектура — проверка прямоугольности конструкций по методу «3-4-5», вычисление длины стропил и лестничных маршей.
• Навигация и геодезия — определение кратчайшего расстояния между точками на плоскости.
• Компьютерная графика — вычисление расстояний между точками в двумерном и трёхмерном пространстве (расстояние Евклида).
• Программирование — функция hypot в стандартных библиотеках языков C, Python, JavaScript и других.

¶Историческая справка

Теорема, связывающая стороны прямоугольного треугольника, была известна задолго до Пифагора. Вавилонские таблички (около 1900—1600 гг. до н. э.) содержат примеры решения подобных задач. В Древней Индии соотношение сторон прямоугольного треугольника встречается в «Сулва-сутрах» (VIII—V вв. до н. э.). В Китае теорема известна как «Коу Гуань Чжан» и описана в трактате «Чжоу би суань цзин». В Древней Греции теорема получила строгое доказательство и связана с именем Пифагора Самосского (VI в. до н. э.), хотя некоторые историки науки оспаривают авторство.

История:

• Элементы Евклида, книга I, предложение 47
• В. И. Атанасян, «Геометрия», 7—11 классы
• И. М. Виноградов (главный редактор), «Математическая энциклопедия»
• Н. Бурбаки, «Основания математики», том I
• К. Бойер, «История математики»