Графа в матрице и таблице¶
Графа — термин, используемый в математике и теории графов для обозначения столбца матрицы или таблицы; в ряде контекстов (например, в теории графов) понятие имеет самостоятельное значение, не связанное с матричной структурой. Строго говоря, графа — это именно столбец, а не строка, однако в обиходном употреблении термин иногда трактуется расширительно.
¶Происхождение термина
Слово «графа» происходит от греческого γραφή (graphḗ) — «письмо, запись». В русском языке оно закрепилось за понятием «столбец таблицы» в XIX веке вместе с развитием табличных методов в математике, статистике и бухгалтерском учёте. В матричной алгебре термин пришёл из немецкой традиции, где Graphen (от греч. γράφειν — «пишу») обозначал столбец числовой матрицы.
¶Графа как столбец
В линейной алгебре матрица размера m × n представляется как упорядоченный набор строк и столбцов. Столбец матрицы, то есть вертикальный набор элементов, и называется графой. Графа нумеруется индексом j, где j = 1, 2, …, n, и записывается как a₁ⱼ, a₂ⱼ, …, aₘⱼ.
Пример: в матрице
`` A = | 1 4 7 | | 2 5 8 | | 3 6 9 | ``
первая графа — это столбец (1, 2, 3), вторая — (4, 5, 6), третья — (7, 8, 9).
Графы играют ключевую роль в линейной алгебре: именно они определяют столбцовое разложение матрицы,秩 ранг матрицы как максимум линейно независимых граф, а также понятие базиса по столбцам. При решении систем линейных уравнений Ax = b правая часть b часто рассматривается как отдельная графа, а решение ищется в виде линейной комбинации граф матрицы A.
¶Строка и графа: различия
Для ясности терминологии:
| Понятие | Направление | Обозначение | Другие названия |
|---|---|---|---|
| Строка | горизонтальное | aᵢ = (aᵢ₁, aᵢ₂, …, aᵢₙ) | ряд, рядок |
| Графа | вертикальное | aʲ = (a₁ⱼ, a₂ⱼ, …, aₘⱼ) | столбец, колонка |
Строка матрицы A обозначается индексом i и содержит n элементов, графа — индексом j и содержит m элементов. В прямоугольной матрице m ≠ n, поэтому строки и графы имеют разную длину. В квадратной матрице (m = n) строки и графы совпадают по размеру, но остаются разными объектами: транспонирование матрицы меняет их местами.
¶Графы в вычислительной математике
В численных методах графы матрицы используются при построении LU-разложения, при методах Гаусса, при вычислении обратной матрицы. При прямом ходе метода Гаусса обрабатываются именно графы: на каждом шаге вычитание строк приводит к обнулению элементов очередной графы ниже главной диагонали.
Понятие «графа» применяется и в методе наименьших квадратов: при решении нормальных уравнений AᵀAx = Aᵀb столбцы матрицы A трактуются как векторы признаков (фичей), и задача сводится к ортопроекции вдоль граф.
¶Графа в теории графов
В теории графов (раздел дискретной математики) термин «граф» обозначает структуру из вершин и рёбер, соединяющих их. Граф — это упорядоченная пара G = (V, E), где V — множество вершин, E — множество рёбер. Это понятие не имеет отношения к столбцам таблиц и является самостоятельным разделом математики, возникшим в XVIII веке в работах Леонарда Эйлера по задаче о Кёнигсбергских мостах (1736).
Смешение терминов «графа» (столбец) и «граф» (структура) — распространённая ошибка, возникающая из-за созвучия слов.
¶Графа в статистике и бухгалтерском учёте
В статистических таблицах графой называют столбец, в котором собраны значения одного признака по всем наблюдениям. В бухгалтерском балансе графы нумеруются по горизонтали (графа 1, графа 2 и т. д.), и каждая содержит отдельный вид имущества или обязательств. Термин «графа» в этом значении закреплён в нормативных документах по бухгалтерскому учёту.
¶Историческая справка
Понятие графы как столбца матрицы оформилось в работах немецких математиков XIX века — Карла Вейерштрасса и Леопольда Кронекера, заложивших основы матричной алгебры. Термин «матрица» ввёл Джеймс Джозеф Сильвестр в 1850 году, а систематическое развитие матричная теория получила в трудах Артура Кейли. В русской математической традиции термин «графа» для обозначения столбца закрепился в учебниках линейной алгебры XX века.
¶Применение
- Линейная алгебра: ранг матрицы, базис столбцов, LU-разложение.
- Численные методы: метод Гаусса, метод наименьших квадратов.
- Статистика: обработка таблиц, построение рядов данных.
- Бухгалтерский учёт: структура балансов и отчётных форм.
- Программирование: представление двумерных массивов, работа с базами данных (столбцы таблиц).
¶Источники
- Гантмахер Ф. Р. «Теория матриц». — М.: Наука, 1967.
- Курош А. Г. «Курс линейной алгебры». — М.: Наука, 1971.
- Фаддеев Д. К., Соминский И. С. «Задачи по алгебре». — М.: Наука, 1977.
- Годунов С. К. «Элементы линейной алгебры». — М.: Наука, 1972.