Грань в геометрии¶

Грань — в геометрии элемент (подмногообразие) геометрического тела или многогранника, ограниченный рёбрами и вершинами. В элементарной геометрии под гранью понимают плоскую фигуру (треугольник, четырёхугольник и т. д.), являющуюся частью поверхности многогранника. Термин применяется также в описании многогранных тел, многогранников, многогранных звёзд и комбинаторных структур.

¶Определения и трактовки

В школьной геометрии грань многогранника определяется как плоский многоугольник, который является частью поверхности многогранника и ограничен замкнутой ломаной, составленной из рёбер. Каждая грань имеет вершины и рёбра, общие с соседними гранями.

В более строгой трактовке, применяемой в комбинаторной геометрии и теории комплексов, грань — это подмногообразие (подкомплекс) некоторого симплициального или клеточного комплекса. В симплициальном комплексе гранью называется любой симплекс, входящий в состав более высокого симплекса: вершина является 0-мерной гранью, ребро — 1-мерной, треугольник — 2-мерной гранью тетраэдра и т. д.

В выпуклой геометрии гранью выпуклого многогранника называется множество точек, лежащих на одной из гранеобразующих плоскостей и удовлетворяющих ограничениям неравенств, определяющих многогранник. Формально, если многогранник задан как пересечение полупространств, грань — это множество точек, для которых одно из неравенств обращается в равенство.

¶Грань в школьном курсе геометрии

В школьном курсе изучаются простейшие многогранники: куб, параллелепипед, призма, пирамида, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Для каждого из них число граней является характеристикой:

Для выпуклых многогранников выполняется соотношение Эйлера: V − E + F = 2, где V — число вершин, E — число рёбер, F — число граней. Для куба: 8 − 12 + 6 = 2.

¶Классификация граней

Грани многогранника классифицируются по нескольким признакам:

• По размерности: в трёхмерном пространстве грань выпуклого многогранника — двумерная плоская фигура; в общем случае грань n-мерного многогранника имеет размерность n − 1.
• По форме: правильные (все стороны и углы равны), неправильные, выпуклые и невыпуклые (вогнутые) многоугольники.
• По симметрии: правильные многогранники (платоновы тела) имеют одинаковые правильные грани; полуправильные (тела Архимеда) — грани двух и более типов.
• По принадлежности: различают базовые грани (основание призмы или пирамиды) и боковые.

¶Грани в телах Архимеда и правильных многогранниках

Пять правильных многогранников (платоновых тел) — тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр — имеют одинаковые правильные грани. Тела Архимеда (13 выпуклых полуправильных многогранников) состоят из граней двух и более типов, например кубооктаэдр имеет квадратные и треугольные грани.

¶Грани призм и пирамид

При многогранниках, не являющихся правильными, грани делятся на основания и боковые грани. У призмы основания — congruentные многоугольники, боковые грани — параллелограммы (у прямой призмы — прямоугольники). У пирамиды основание — произвольный многоугольник, боковые грани — треугольники, сходящиеся в общей вершине.

¶Грань в многогранных звёздах и невыпуклых телах

Для невыпуклых многогранников и звёздчатых тел понятие грани сохраняется, но грань может быть невыпуклым многоугольником или самопересекающейся фигурой. В звёздчатых телах Кеплера — Пуассона грани — правильные многоугольники, образующие выступающие и вогнутые части поверхности.

¶Грани в комбинаторной геометрии и топологии

В симплициальном комплексе грань симплекса — любой его подсимплекс. В клеточном комплексе грань клетки — клетка меньшей размерности, лежащая на её границе. Понятие грани лежит в основе определения цепей, сцепок и гомологий в алгебраической топологии.

¶Смежные понятия

С гранью тесно связаны понятия ребра (пересечение двух граней), вершины (пересечение трёх и более граней), диагонали многогранника, развёртки (разложение поверхности многогранника на плоскости по граням).

¶Источники

• Пономарёв Л. И. «Элементарная геометрия», курс лекций.
• Александров А. Д. «Лекции по элементарной геометрии».
• Клейн Ф. «Элементарная математика с точки зрения высшей математики».
• Кочетков Ю. Д. «Многогранники» (МЦНМО).