Инвариант — математическое понятие¶
Инвариант — величина, свойство или характеристика математического объекта, которая не меняется при определённых преобразованиях этого объекта. Понятие занимает центральное место в современной математике: оно позволяет выделять сущностные черты объектов, отделяя их от случайных или несущественных деталей. Инвариантность лежит в основе целых разделов математики — алгебраической топологии, теории групп, алгебраической геометрии, а также применяется в физике, теории информации и криптографии.
¶Определение и общие соображения
Пусть дано множество объектов и класс преобразований, действующих на них. Величина (свойство, число, структура) называется инвариантной, если она одинакова для всех объектов, связанных этими преобразованиями. Формально: если объект $A$ может быть преобразован в объект $B$ допустимым способом, то инвариант $I$ удовлетворяет условию $I(A) = I(B)$.
Инвариантность всегда относительна: инвариант относительно одного класса преобразований может меняться при другом. Например, длина отрезка инвариантна при растяжениях и поворотах, но не при неравномерном масштабировании. Поэтому при определении инварианта всегда указывают, к какому классу преобразований он относится.
¶Классификация
Инварианты можно классифицировать по нескольким признакам.
¶По типу объектов
- Числовые инварианты — конкретные числа, не меняющиеся при преобразованиях: число вершин, рёбер и граней многогранника, ранг матрицы, определитель, характеристический многочлен.
- Структурные инварианты — свойства, которые сохраняют структуру: изоморфизм групп, гомеоморфность топологических пространств, сопряжённость матриц.
- Топологические инварианты — величины, сохраняющиеся при непрерывных обратимых преобразованиях (гомеоморфизмах): число связных компонент, эйлерова характеристика, гомологические группы.
¶По характеру преобразований
- Алгебраические инварианты — инварианты при действиях групп: определитель при подстановках, квадратичные формы при линейных преобразованиях.
- Топологические инварианты — инварианты при непрерывных деформациях.
- Динамические инварианты — сохраняющиеся величины при эволюции динамической системы (например, энергия в консервативной системе, площадь фазового объёма по теореме Лиувилля).
¶История
Понятие инварианта сформировалось постепенно. Ранние примеры — определитель и квадратичная форма, изучавшиеся в XVIII веке в связи с проблемой приведения квадратичных форм. В XIX веке Кэли, Сильвестр и Гамильтон разработали теорию алгебраических инвариантов, изучавшую, какие полиномиальные выражения от коэффициентов формы не меняются при линейных преобразованиях переменных. Гильберт в 1890 году доказал конечность базы инвариантов для любой формы (теорема Гильберта о базисе), что завершило классическую теорию инвариантов.
Параллельно развивалась топология. Эйлер в 1758 году установил формулу $V - E + F = 2$ для выпуклых многогранников — один из первых топологических инвариантов. В XX веке Понтрягин, Александер, Эйленберг и другие создали гомологическую теорию, давшую систематический аппарат инвариантов топологических пространств.
¶Примеры
¶Число граней, рёбер и вершин
По формуле Эйлера, для любого выпуклого многогранника $V - E + F = 2$. Эти величины связаны и не являются независимыми инвариантами, но их комбинация — эйлерова характеристика — инвариантна при любых гомеоморфизмах.
¶Определитель
Определитель квадратной матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк, сохраняющих знак (например, при перестановке строк знак меняется, а по модулю — нет). Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда столбцы матрицы линейно зависимы — это свойство инвариантно.
¶Характеристический многочлен
Характеристический многочлен $\det(A - \lambda E)$ не меняется при сопряжении матрицы $A \to P^{-1}AP$. Отсюда следуют инварианты: след и определитель матрицы, её собственные значения.
¶Топологические инварианты
Кольцо, сфера и куб гомеоморфны друг другу как топологические пространства (их можно деформировать друг в друга без разрывов), но не гомеоморфны диску или отрезку — различие фиксируется топологическими инвариантами, например, числом связных компонент дополнения или группами гомологий.
¶Применение
В алгебраической топологии инварианты служат основным инструментом классификации пространств: гомологические и когомологические группы, индекс Эйлера–Понтрягина, характеристические классы.
В теории групп инварианты позволяют различать группы: порядок, центр, факторгруппа по коммутатору, показатель.
В физике закон сохранения — это инвариант по отношению к соответствующей симметрии (энергия — инвариант по отношению к сдвигу времени, импульс — по отношению к сдвигу пространства, что следует из теоремы Нётер).
В теории информации и криптографии инвариантами выступают энтропия, расстояние Хэмминга, несущая способность канала.
¶См. также
¶Источники
- Гильберт Д. О полном системе инвариантов бинарных форм. — 1890.
- Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — М.: Наука, 1973.
- Александров П. С., Комаров А. Л. Топология. — М.: Наука, 1973.
- Эйленберг С., Стил Р. Основы алгебраической топологии. — М.: Мир, 1971.
- Голубев В. В. Лекции по теории инвариантов. — М.: Наука, 1979.