Инвариантность в математике и физике¶

Инвариантный (от лат. invariabilis — неизменный) — термин, обозначающий объект, свойство, величину или отношение, которые сохраняются неизменными при определённых преобразованиях или переходах от одной системы к другой. Понятие инвариантности является одним из центральных в математике, теоретической физике, теории групп, топологии и компьютерных науках, поскольку позволяет выделять устойчивые черты структур, не зависящие от выбора координат, представления или системы отсчёта.

¶Математическая инвариантность

¶Определение

Пусть дан некоторый объект (множество, векторное пространство, метрическое пространство и т. д.) и группа преобразований, действующая на нём. Величина или свойство называется инвариантным, если оно не меняется при применении любого преобразования из этой группы. Инвариантность всегда рассматривается относительно конкретного класса преобразований: одно и то же свойство может быть инвариантным для одного класса преобразований и неинвариантным для другого.

¶Примеры в геометрии и линейной алгебре

В классической геометрии Евклида к инвариантам относятся длина отрезка, угол между прямыми, площадь фигуры — эти величины не меняются при движениях (параллельных переносах, поворотах, отражениях). В аффинной геометрии к инвариантам относится отношение отрезков на одной прямой, но не длина отрезка как таковая. В проективной геометрии инвариантен кросс-отношение четырёх точек на прямой.

В линейной алгебре ключевым инвариантом является определитель матрицы: при умножении матрицы на обратимую матрицу определитель меняется лишь на множитель, а для матриц, подобных друг другу, определитель совпадает. Другие инварианты линейных операторов — собственные значения, ранг, след, характеристический многочлен. Именно собственные значения и характеристический многочлен служат полными инвариантами линейного оператора относительно преобразований смены базиса.

¶Теория инвариантов

Специальный раздел алгебры, теория инвариантов, возник в середине XIX века в работах Джорджа Бойля и Артура Кэли и получил развитие в трудах Давида Гильберта. Она изучает, как ведут себя полиномиальные функции, заданные на матрицах или тензорах, при линейных преобразованиях переменных. Классическая теория инвариантов формулируется в терминах орбит и модулей симметрических групп.

¶Инварианты в топологии

В топологии инвариантами называют числа и структуры, одинаковые для гомеоморфных (или гомотопически эквивалентных) пространств. Простейшие примеры — число связных компонентов, эйлерова характеристика, размерность. Более тонкие инварианты — гомологические и когомологические группы, фундаментальная группа. Задача классификации топологических пространств сводится к вычислению полного набора инвариантов.

¶Инвариантность в физике

¶Принцип относительности

В теоретической физике понятие инвариантности тесно связано с принципом относительности. В классической механике Ньютона инвариантны законы движения при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (галилеевы преобразования). В специальной теории относительности Эйнштейна инвариантным оказывается интервал между событиями, а сами законы физики инвариантны относительно лоренцевых преобразований. Скорость света в вакууме является инвариантной величиной для всех инерциальных наблюдателей.

¶Соотношения Нётер

Теорема Эммы Нётер (1918) устанавливает фундаментальную связь между симметриями физической системы и законами сохранения. Каждому непрерывному преобразованию, оставляющему действие инвариантным, соответствует закон сохранения: инвариантность относительно сдвига по времени даёт сохранение энергии, относительно поворота — сохранение момента импульса, относительно сдвига в пространстве — сохранение импульса. Таким образом, инвариантность лагранжева функции является источником интегралов движения.

¶Инвариантные уравнения

Уравнения Максвелла в электродинамике инвариантны относительно лоренцевых преобразований, что и позволило объединить электричество и магнетизм. Уравнения квантовой механики Шрёдингера инвариантны относительно галилеевых преобразований, а релятивистские уравнения — Дирака и Клейна — Гордона — относительно лоренцевых. В общей теории относительности уравнения Эйнштейна инвариантны относительно произвольных диффеоморфизмов, что выражает принцип общей ковариантности.

¶Инварианты в других областях

В теории чисел инвариантом является greatest common divisor (наибольший общий делитель), не меняющийся при евклидовом делении. В теории графов изоморфизм сохраняет число вершин, рёбер, циклический ранг. В теории групп изоморфизм сохраняет порядок элементов, центру, факторгруппы.

В компьютерных науках инварианты используются при доказательстве корректности программ: инвариант цикла — условие, истинное перед началом каждой итерации и после её завершения. Понятие инварианта лежит в основе методов формальной верификации.

В химии и кристаллографии инвариантами называют величины, не меняющиеся при симметрических операциях кристаллической решётки, — они используются при классификации кристаллических классов.

¶История

Термин «инвариант» вошёл в математическую терминологию в 1850-х годах. Джордж Бойль ввёл понятие «invariant» для обозначения полиномов, не меняющихся при линейных преобразованиях переменных. Работы Бойля и Кэли заложили основы теории инвариантов, которая в конце XIX — начале XX века стала одним из центральных направлений алгебры. Вклад в её развитие внесли Феликс Клейн (программа Эрлангена, классификация геометрий через группы преобразований и инварианты), Давид Гильберт (теорема о базисе инвариантов, 1890), Эми Нётер и Эрнст Штайниц.

¶История

См. выше.

Источники:

• Курош А. Г. Курс линейной алгебры
• Арнольд В. И. Математические методы классической механики
• Фаддеев Д. К., Соминский И. С. История алгебры
• Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика, т. 2