Кириллов Александр Александрович¶

Кириллов Александр Александрович — советский и российский математик, доктор физико-математических наук, профессор, один из крупнейших специалистов XX века в области теории представлений и функционального анализа. Родился 9 мая 1936 года в Москве. Известен созданием теории орбит (метода орбит) для описания унитарных представлений нильпотентных групп Ли, а также работами по теории инвариантов, топологии и математической физике. Член-корреспондент Академии наук СССР (с 1976 года), лауреат премии Московского математического общества.

¶Биография

Александр Кириллов родился в семье служащих. Интерес к математике проявился рано: уже в школьные годы он участвовал в математических олимпиадах. В 1953 году поступил на механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Среди его учителей были выдающиеся математики И. М. Гельфанд и М. А. Наймарк, под влиянием которых сформировались научные интересы Кириллова.

В 1959 году окончил аспирантуру МГУ и защитил кандидатскую диссертацию, посвящённую теории представлений групп Ли. В 1962 году в возрасте 26 лет защитил докторскую диссертацию, что стало редкостью для того времени. С 1962 года работал в Московском государственном университете, где прошёл путь от доцента до профессора кафедры теории функций и функционального анализа. В 1976 году избран членом-корреспондентом АН СССР.

В 1994 году, в связи с изменением условий научной работы в России, Кириллов принял приглашение Пенсильванского университета (США), где продолжал исследования до выхода на пенсию. Несмотря на эмиграцию, он сохранял связи с российской математической школой, публиковал работы в российских журналах и участвовал в совместных проектах.

¶Метод орбит

Главным научным достижением Кириллова является создание в начале 1960-х годов так называемого метода орбит (или метода орбит Кириллова). Этот метод даёт способ описания неприводимых унитарных представлений связных нильпотентных групп Ли через геометрические объекты — орбиты коприсоединённого действия группы на дуальном пространстве своей алгебры Ли.

Суть метода заключается в следующем. Для группы Ли \( G \) рассматривается её алгебра Ли \( \mathfrak{g} \) и дуальное пространство \( \mathfrak{g}^ \). Группа действует на \( \mathfrak{g}^ \) коприсоединённым представлением. Орбиты этого действия (орбиты коприсоединённого представления) параметризуют классы эквивалентности неприводимых унитарных представлений группы \( G \). Каждой орбите сопоставляется представление, конструкция которого использует симплектическую структуру на орбите. Для нильпотентных групп это соответствие является биективным, что доказал Кириллов.

Метод орбит оказался чрезвычайно плодотворным. Он позволил свести сложную аналитическую задачу классификации представлений к более наглядной геометрической задаче изучения орбит. Впоследствии метод был распространён на другие классы групп (разрешимые группы, некоторые полупростые группы), хотя полное обобщение на все группы Ли не удалось. Тем не менее, идеи Кириллова легли в основу целого направления в теории представлений, активно развиваемого до настоящего времени.

¶Другие научные результаты

Помимо метода орбит, Кириллов получил важные результаты в ряде областей математики.

¶Теория инвариантов

В 1960-е годы Кириллов занимался проблемами теории инвариантов — раздела математики, изучающего величины, сохраняющиеся при действии групп. Он исследовал структуру алгебр инвариантов для различных групп Ли и нашёл условия конечной порождённости этих алгебр.

¶Бесконечномерные группы

Значительное внимание Кириллов уделял теории бесконечномерных групп Ли, в частности групп диффеоморфизмов многообразий и групп петель. Он предложил подходы к описанию их представлений и исследовал связанные с ними алгебры (алгебры Вирасоро и аффинные алгебры Каца — Муди). Эти работы соединяют теорию представлений с математической физикой, в том числе с теорией струн и конформной теорией поля.

¶Топология и комбинаторика

В поздний период творчества Кириллов обратился к вопросам топологии и комбинаторики. Он изучал связь между теорией узлов, инвариантами и комбинаторными структурами. Известны его работы по так называемым «формулам Кириллова» для характеров представлений и по теории диофантовых приближений.

¶Математическая физика

Ряд работ Кириллова посвящён применению методов теории представлений в квантовой механике и квантовой теории поля. Он исследовал структуру фазовых пространств, квантование и связь между классической и квантовой механикой. Метод орбит оказался естественным языком для описания геометрического квантования.

¶Педагогическая и просветительская деятельность

Кириллов был блестящим лектором и педагогом. Его лекции на механико-математическом факультете МГУ пользовались большой популярностью среди студентов. Он воспитал многочисленных учеников, среди которых известные математики, работающие в России и за рубежом.

Особую известность получил его учебник «Элементы теории представлений», выдержавший несколько изданий и переведённый на английский и другие языки. Эта книга стала настольным руководством для нескольких поколений математиков, изучающих теорию представлений. Также широко известен его задачник по функциональному анализу, написанный в соавторстве с А. Д. Мышкисом.

¶Признание и награды

Научные заслуги Кириллова получили широкое признание. Он был избран членом-корреспондентом АН СССР в 1976 году и членом-корреспондентом Российской академии наук после её реорганизации. В 1990-е годы избран иностранным членом Норвежской академии наук и Американской академии искусств и наук.

Кириллов удостоен премии Московского математического общества для молодых учёных (1958) и Государственной премии СССР (1978) за цикл работ по теории представлений. В 2006 году он стал лауреатом премии имени Г. Вейля, присуждаемой за выдающиеся достижения в области математики, связанные с физикой.

¶Основные публикации

Наиболее значимые труды Кириллова:

• «Элементы теории представлений» (1972) — монография, систематически излагающая теорию представлений групп и алгебр.
• «Теория орбит» (лекции, публиковавшиеся в различных сборниках) — изложение метода орбит.
• Многочисленные статьи в ведущих математических журналах: «Успехи математических наук», «Математический сборник», «Функциональный анализ и его приложения», «Известия РАН».

Кириллов также внёс вклад в популяризацию математики, выступая с публичными лекциями и публикуя статьи в научно-популярных изданиях.

¶Влияние на мировую математику

Идеи Александра Кириллова оказали глубокое влияние на развитие математики второй половины XX — начала XXI века. Метод орбит стал стандартным инструментом в теории представлений, его применяют в гармоническом анализе, теории автоморфных форм, в математической физике. Работы Кириллова стимулировали развитие теории бесконечномерных групп и алгебр, а также их приложений в квантовой теории поля.

Наследие Кириллова продолжает жить в работах его учеников и последователей по всему миру. Его подход, сочетающий глубокую геометрическую интуицию с аналитической строгостью, остаётся образцом математического творчества.