Контравариантный тензор

Контравариантный тензор — это тензор, компоненты которого при преобразовании координат изменяются по закону, обратному (контравариантному) по отношению к преобразованию базисных векторов. В тензорном анализе различают контравариантные, ковариантные и смешанные тензоры. Контравариантность является фундаментальным свойством, определяющим, как геометрический или физический объект ведёт себя при замене системы координат. В физике контравариантные тензоры часто ассоциируются с величинами, которые «переносятся» при преобразовании координат, например, с векторами скорости или ускорения в дифференциальной геометрии.

Определение и формальное описание

В математике и физике тензор определяется как полилинейное отображение из декартова произведения касательного и кокасательного пространств в поле действительных чисел. Контравариантный тензор ранга \((p,0)\) (или типа \((p,0)\)) — это тензор, линейный по \(p\) аргументам из кокасательного пространства. Иначе говоря, он является элементом тензорного произведения \(p\) экземпляров касательного пространства в данной точке многообразия.

Формально, пусть \(V\) — конечномерное векторное пространство (касательное пространство) размерности \(n\) над полем \(\mathbb{R}\) или \(\mathbb{C}\). Тогда контравариантный тензор ранга \(r\) — это элемент \(r\)-й тензорной степени \(V\):

\[ T \in V^{\otimes r} = \underbrace{V \otimes V \otimes \dots \otimes V}_{r \text{ раз}} \]

В координатном представлении контравариантный тензор записывается с верхними индексами: \(T^{i_1 i_2 \dots i_r}\). Компоненты тензора при преобразовании координат \(x^i \to \tilde{x}^j\) преобразуются по закону:

\[ \tilde{T}^{j_1 j_2 \dots j_r} = T^{i_1 i_2 \dots i_r} \frac{\partial \tilde{x}^{j_1}}{\partial x^{i_1}} \frac{\partial \tilde{x}^{j_2}}{\partial x^{i_2}} \dots \frac{\partial \tilde{x}^{j_r}}{\partial x^{i_r}} \]

где используется правило суммирования Эйнштейна, и \(\frac{\partial \tilde{x}^j}{\partial x^i}\) — матрица Якоби преобразования координат. Множители \(\frac{\partial \tilde{x}^j}{\partial x^i}\) называются коэффициентами преобразования; они обратны матрице преобразования базисных векторов.

Связь с ковариантными и смешанными тензорами

Ковариантные тензоры записываются с нижними индексами и преобразуются с использованием обратной матрицы: \(\frac{\partial x^i}{\partial \tilde{x}^j}\). Контравариантные и ковариантные тензоры связаны операцией поднятия и опускания индексов с помощью метрического тензора. Метрический тензор \(g_{ij}\) (ковариантный) позволяет понизить индекс, а обратный ему тензор \(g^{ij}\) (контравариантный) — повысить. Например, контравариантный вектор \(v^i\) можно преобразовать в ковариантный: \(v_i = g_{ij} v^j\).

Смешанные тензоры содержат как верхние, так и нижние индексы, например \(T^i_{\; j}\). Они преобразуются по смешанному закону: для верхних индексов — контравариантно, для нижних — ковариантно.

Примеры

1. Контравариантный вектор (тензор ранга 1)

В трёхмерном евклидовом пространстве вектор скорости \(\vec{v}\) является контравариантным тензором ранга 1. При повороте системы координат его компоненты преобразуются по закону:

\[ v'^i = \frac{\partial x'^i}{\partial x^j} v^j \]

Например, в полярных координатах на плоскости компоненты скорости в декартовых координатах \((v^x, v^y)\) преобразуются в радиальную и тангенциальную составляющие \((v^r, v^\theta)\).

2. Тензор энергии-импульса в специальной теории относительности

В теории относительности тензор энергии-импульса \(T^{\mu\nu}\) является контравариантным тензором ранга 2. Его компоненты описывают плотность энергии, плотность импульса и напряжения. При переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты преобразуются по тензорному закону с использованием преобразований Лоренца.

3. Метрический тензор в контравариантной форме

Метрический тензор в общем случае является ковариантным (\(g_{ij}\)). Его контравариантная форма \(g^{ij}\) определяется как обратная матрица: \(g^{ik} g_{kj} = \delta^i_j\). В плоском пространстве Минковского контравариантная метрика имеет вид:

\[ g^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]

Операции с контравариантными тензорами

Сложение и умножение на скаляр

Контравариантные тензоры одного ранга образуют векторное пространство. Сложение производится покомпонентно, умножение на число — умножением каждой компоненты.

Тензорное произведение

Тензорное произведение контравариантных тензоров рангов \(r\) и \(s\) даёт контравариантный тензор ранга \(r+s\). Например, если \(A^i\) и \(B^j\) — контравариантные векторы, то \(C^{ij} = A^i B^j\) является контравариантным тензором ранга 2.

Свёртка (контракция)

Свёртка по одному верхнему и одному нижнему индексу понижает ранг тензора на 2. Для смешанного тензора \(T^{i}_{\; j}\) свёртка даёт скаляр: \(T^{i}_{\; i}\). Для контравариантного тензора одного верхнего индекса свёртка невозможна без метрического тензора.

Поднятие и опускание индексов

Как уже упоминалось, с помощью метрического тензора \(g_{ij}\) и его обратного \(g^{ij}\) можно изменять тип тензора. Например, из контравариантного тензора \(T^{ij}\) можно получить смешанный \(T^{i}_{\; j} = g_{jk} T^{ik}\) и ковариантный \(T_{ij} = g_{ik} g_{jl} T^{kl}\).

Роль в физике и геометрии

В дифференциальной геометрии

Контравариантные тензоры являются фундаментальными объектами на гладких многообразиях. Касательное пространство в точке многообразия состоит из контравариантных векторов (касательных векторов). Тензорное поле типа \((p,0)\) задаёт в каждой точке многообразия контравариантный тензор; пример — поле скоростей течения жидкости на поверхности.

В общей теории относительности

Уравнения Эйнштейна в ковариантной форме записываются через тензор кривизны Риччи и метрический тензор, но часто используются контравариантные компоненты метрики и тензора энергии-импульса. Поднятие индексов в теории относительности необходимо для формулировки законов сохранения.

В классической механике

В лагранжевом формализме обобщённые скорости \(\dot{q}^i\) являются контравариантными векторами в конфигурационном пространстве. При переходе к новым обобщённым координатам они преобразуются по контравариантному закону.

Интересные факты

• Понятие контравариантности было введено итальянским математиком Грегорио Риччи-Курбастро и развито его учеником Туллио Леви-Чивитой в конце XIX — начале XX века в рамках абсолютного дифференциального исчисления (тензорного анализа).
• В некоторых учебниках (например, в книгах по тензорному исчислению для инженеров) контравариантные векторы иногда называют «векторами-строками» или «векторами-столбцами» в зависимости от соглашения о записи; однако это не всегда корректно, так как преобразование компонент контравариантного вектора отличается от преобразования ковариантного.
• В многомерных пространствах с псевдоевклидовой метрикой (как в теории относительности) метрический тензор не положительно определён, поэтому поднятие и опускание индексов может менять знак компонент тензора.

Критика и ограничения

Терминология «контравариантный» и «ковариантный» иногда критикуется за излишнюю запутанность для начинающих. В современных курсах по дифференциальной геометрии часто предпочитают использовать язык касательных и кокасательных пространств, избегая разделения на «верхние» и «нижние» индексы до введения метрики. Тем не менее, классический формализм остаётся востребованным в физике и прикладной математике.

Источники

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. «Современная геометрия: методы и приложения» — М.: Наука, 1986.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. «Линейная алгебра и геометрия» — М.: МЦНМО, 2000.
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. «Гравитация» — М.: Мир, 1977. Том 1 (глава 8).
• Шутц Б. Ф. «Геометрические методы математической физики» — М.: Мир, 1984.
• Bishop R. L., Goldberg S. I. «Tensor Analysis on Manifolds» — Dover Publications, 1980.