Кратный интеграл в математике¶

Кратный интеграл — обобщение понятия определённого интеграла на функции нескольких переменных. Если обычный интеграл вычисляется по отрезку числовой прямой, то кратный — по области в двумерном, трёхмерном или n-мерном пространстве. В зависимости от размерности области различают двойной, тройной и n-кратный интегралы. Кратные интегралы — один из центральных инструментов математического анализа, математической физики, геометрии и прикладных дисциплин.

¶Определение и обозначения

Двойной интеграл от функции f(x, y) по области D записывается как

∬_D f(x, y) dx dy.

Тройной интеграл по области V в пространстве — ∬∬_V f(x, y, z) dx dy dz, что обычно сокращают до ∭_V f dV. Общее обозначение n-кратного интеграла включает n знаков интегрирования и n дифференциалов.

Строгое определение строится через интегральные суммы: область разбивают на малые ячейки, в каждой выбирают точку, умножают значение функции на площадь (или объём) ячейки и суммируют. Предел таких сумм при стремлении размеров ячеек к нулю и называется кратным интегралом. Если предел существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек, функция называется интегрируемой.

¶Геометрический и физический смысл

Двойной интеграл от единицы по области D даёт площадь этой области:

∬_D 1 dx dy = S(D).

Тройной интеграл от единицы — объём тела V. Если подынтегральная функция описывает плотность распределения величины, интеграл даёт суммарную величину: массу, заряд, количество теплоты. Так, для тела с переменной плотностью ρ(x, y, z) масса равна ∭_V ρ dV.

¶Свойства

Кратные интегралы обладают свойствами, аналогичными определённому интегралу:

• линейность: интеграл от суммы и от произведения на константу;
• аддитивность по области: интеграл по объединению непересекающихся областей равен сумме интегралов;
• монотонность: если f ≤ g всюду в области, то и интегралы связаны тем же неравенством;
• оценка модуля: |∬ f| ≤ ∬ |f|;
• теорема о среднем при непрерывности функции.

¶Вычисление через повторные интегралы

Основной практический приём — сведение кратного интеграла к последовательному вычислению обычных интегралов. Для прямоугольной области D = [a, b] × [c, d] двойной интеграл равен повторному:

∬_D f dx dy = ∫_a^b (∫_c^d f dy) dx.

Порядок интегрирования можно менять (теорема Фубини при выполнении условий интегрируемости). Для криволинейных областей пределы внутреннего интеграла становятся функциями внешней переменной.

¶Замена переменных

Если перейти к новым координатам (u, v), связанным со старыми взаимно однозначным отображением, то

∬_D f(x, y) dx dy = ∬_G f(x(u,v), y(u,v)) |J| du dv,

где J — якобиан преобразования, определитель матрицы частных производных. В полярных координатах якобиан равен r, в цилиндрических — r, в сферических — r² sin θ. Замена переменных часто радикально упрощает вычисление.

¶Применение

Кратные интегралы используются для вычисления:

• площадей плоских фигур и площадей поверхностей;
• объёмов тел;
• массы, центров масс, моментов инерции тел с переменной плотностью;
• потоков векторных полей (через поверхностные интегралы);
• вероятностей для многомерных распределений в теории вероятностей;
• решений уравнений математической физики.

С ними связаны классические теоремы векторного анализа: формула Грина, теорема Стокса и теорема Остроградского — Гаусса, связывающие интегралы по области с интегралами по её границе.

¶История

Идеи интегрирования по областям восходят к XVII веку. Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц заложили основы интегрального исчисления. Леонард Эйлер в XVIII веке систематически применял двойные и тройные интегралы в механике и геометрии. Огюстен Луи Коши и Бернхард Риман в XIX веке дали строгое определение интеграла через пределы сумм. Анри Лебег в начале XX века предложил более общую теорию интегрирования, расширившую класс интегрируемых функций. В российской математической школе значительный вклад в теорию кратных интегралов и смежные разделы анализа внесли Николай Лузин, Андрей Колмогоров и их ученики.

¶Связь с другими разделами

Кратные интегралы тесно связаны с криволинейными и поверхностными интегралами, теорией меры, дифференциальными формами. В современной формулировке обобщённая теорема Стокса для дифференциальных форм объединяет все классические интегральные теоремы. Численные методы — метод Монте-Карло, квадратурные формулы — применяются, когда аналитическое вычисление невозможно.

Источники: учебники по математическому анализу, курсы высшей математики для технических вузов, справочная математическая литература.