Кратные интегралы в математике¶

Кратный интеграл — обобщение понятия определённого интеграла на случай функции нескольких переменных. Если определённый интеграл вычисляется по отрезку числовой прямой, то кратный интеграл берётся по области в двумерном, трёхмерном или более многомерном пространстве. Наиболее употребительны двойной интеграл (по плоской области) и тройной интеграл (по пространственному телу). Кратные интегралы — центральное понятие многомерного математического анализа, математической физики, механики и теории вероятностей.

¶Определение и обозначения

Пусть в замкнутой области \(D\) n-мерного пространства задана функция \(f(x_1, x_2, \dots, x_n)\). Область разбивают на малые части, в каждой выбирают точку, составляют интегральную сумму — сумму произведений значения функции на меру (площадь, объём) соответствующей части. Предел интегральных сумм при стремлении размеров всех частей к нулю, если он существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек, называется кратным интегралом:

\[ \iint\limits_D f(x,y)\,dS, \qquad \iiint\limits_V f(x,y,z)\,dV. \]

Для двойного интеграла используют обозначение с двумя знаками интеграла, для тройного — с тремя. Число знаков соответствует размерности области интегрирования. Функция, для которой предел интегральных сумм существует, называется интегрируемой; непрерывные на замкнутой ограниченной области функции интегрируемы.

¶Геометрический и физический смысл

Двойной интеграл от единицы равен площади области \(D\):

\[ \iint\limits_D 1\,dS = S(D). \]

Тройной интеграл от единицы равен объёму тела \(V\). Если подынтегральная функция неотрицательна, двойной интеграл выражает объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью \(z = f(x,y)\), а снизу — областью \(D\) в плоскости \(xy\).

В физике кратные интегралы применяют для вычисления массы неоднородного тела через плотность, координат центра масс, моментов инерции, количества теплоты, потока жидкости или газа. Так, масса тела с плотностью \(\rho(x,y,z)\) равна \(\iiint_V \rho\,dV\).

¶Свойства

Кратные интегралы обладают свойствами, аналогичными свойствам определённого интеграла:

• линейность: интеграл от суммы и от произведения на постоянную;
• аддитивность по области: интеграл по объединению непересекающихся областей равен сумме интегралов;
• сохранение неравенства при интегрировании;
• оценка модуля интеграла через максимум модуля функции и меру области;
• теорема о среднем значении.

¶Вычисление: сведение к повторным интегралам

Основной практический приём — сведение кратного интеграла к последовательному вычислению обычных определённых интегралов (повторный интеграл). Для двойного интеграла по области, правильной в направлении оси \(y\):

\[ \iint\limits_D f(x,y)\,dS = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,dy. \]

Внутренний интеграл берётся по переменной \(y\) при фиксированном \(x\), затем результат интегрируется по \(x\). Для тройного интеграла порядок интегрирования аналогично сводится к трём однократным. Порядок интегрирования можно менять, если область допускает соответствующее описание.

¶Замена переменных

При переходе к новым переменным используется якобиан — определитель матрицы частных производных:

\[ \iint\limits_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint\limits_{D'} f\big(x(u,v), y(u,v)\big)\,|J|\,du\,dv. \]

Важнейшие частные случаи — переход к полярным координатам на плоскости (\(x = r\cos\varphi\), \(y = r\sin\varphi\), якобиан равен \(r\)) и к цилиндрическим или сферическим координатам в пространстве. Замена переменных позволяет упростить область интегрирования и подынтегральное выражение.

¶Применение

Кратные интегралы используются в:

• геометрии — вычисление площадей, объёмов, площадей поверхностей;
• механике — массы, центры тяжести, моменты инерции тел;
• гидродинамике и теории поля — поток векторного поля, формулы Остроградского — Гаусса и Стокса;
• теории вероятностей — вероятность попадания многомерной случайной величины в область через совместную плотность распределения;
• электродинамике и теории теплопроводности — расчёт полей и распределений.

¶История

Идеи интегрирования функций нескольких переменных восходят к XVIII веку. Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж применяли повторное интегрирование при решении задач механики. Понятие двойного и тройного интеграла систематически развил в первой половине XIX века Огюстен Луи Коши, а строгую теорию меры и общее определение n-кратного интеграла дал в начале XX века Анри Лебег. В России значительный вклад в теорию кратных интегралов и её приложения внесли математики петербургской и московской школ, в том числе в области вариационного исчисления и уравнений математической физики.

¶Обобщения

Помимо интегралов по областям евклидова пространства, рассматривают криволинейные и поверхностные интегралы, интегралы по многообразиям, интеграл Лебега по абстрактной мере. Формула Стокса связывает интеграл по границе области с интегралом по самой области и является многомерным обобщением формулы Ньютона — Лейбница.

Источники: учебники по математическому анализу, курсы многомерного интегрирования, справочная математическая литература.