Круги Эйлера¶

Круги Эйлера — геометрическая схема, визуально представляющая отношения между множествами натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел. Названа в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707—1783), хотя сама идея отображения множеств с помощью пересекающихся кругов восходит к работам немецкого философа и математика Готфрида Вильгельма Лейбница, а позднее к Леону Эйлеру (сыну Иоганна Эйлера), который использовал подобные диаграммы в учебных целях.

¶Структура схемы

Классическая схема состоит из концентрических кругов (обычно четырёх или пяти), вложенных друг в друга, и одного пересекающегося круга. Каждый круг соответствует одному классу чисел, причём вложенный круг полностью содержится в окружающем его, что отражает отношение строгого включения множеств.

Типичная структура от внутреннего круга к внешнему:

Круг мнимых чисел пересекает круг вещественных чисел и одновременно лежит внутри круга комплексных: мнимые числа — это частный случай комплексных с нулевой вещественной частью, но они не являются вещественными. Единственная точка пересечения мнимых и вещественных чисел — это ноль.

¶Классификация множеств

¶Натуральные числа

Множество натуральных чисел ℕ — самое внутреннее. Включает положительные целые числа. В российской математической традиции ноль, как правило, не относится к натуральным, хотя в западной литературе и в стандартах ISO ноль часто включается в это множество.

¶Целые числа

Множество целых чисел ℤ содержит натуральные числа, их отрицательные противоположности и ноль. Отношение включения ℂ ⊃ ℝ ⊃ ℚ ⊃ ℤ ⊃ ℕ является строгим: каждое множество содержит элементы, отсутствующие во вложенном.

¶Рациональные числа

Рациональные числа ℚ — это числа, представимые в виде несократимой дроби p/q, где p и q — целые числа, q ≠ 0. Множество ℚ счётно, что было доказано Рихардом Дедекиндом и Георгом Кантором в конце XIX века.

¶Вещественные числа

Вещественные (числовые) числа ℝ включают рациональные и иррациональные числа. Множество ℝ несчётно — это доказал Кантор в 1874 году с помощью аргумента о диагонали. Построение ℝ из ℚ осуществляется, например, с помощью сечений Дедекида или последовательностей Коши.

¶Комплексные числа

Комплексные числа ℂ имеют вид a + bi, где a и b — вещественные, i — мнимая единица, удовлетворяющая равенству i² = −1. Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле, что делает их естественным завершением иерархии.

¶Мнимые числа

Мнимые числа (числа вида bi, где b — вещественное, b ≠ 0) образуют множество, пересекающее вещественные числа ровно в нуле. В кругах Эйлера мнимые числа изображаются отдельным кругом, который пересекает круг ℝ и лежит внутри ℂ. Это отражает тот факт, что любое комплексное число однозначно раскладывается на вещественную и мнимую части.

¶История

Идея визуализации отношений между множествами с помощью пересекающихся кругов восходит к Лейбницу, использовавшему подобные схемы в своих рукописях. Термин «круги Эйлера» закрепился позднее, когда схема получила широкое распространение в учебной литературе. В XIX—XX веках диаграммы Эйлера стали стандартным инструментом преподавания элементов теории множеств и математического анализа.

Следует различать круги Эйлера и диаграммы Венна. Диаграммы Венна (названные в честь Джона Венна, 1880-е годы) показывают все возможные логические отношения между множествами, включая пустые пересечения, тогда как круги Эйлера отражают только реально существующие отношения. Для иерархии числовых множеств, где все включения строгие и известны заранее, круги Эйлера оказываются более наглядным инструментом.

¶Применение

Круги Эйлера используются преимущественно в образовании — при изучении школьного курса алгебры, начала анализа и вводных разделов теории множеств. Схема позволяет наглядно показать студенту, почему, например, √2 не является рациональным числом, почему −3 — целое, но не натуральное, а i — комплексное, но не вещественное.

В математической практике круги Эйлера применяются и для произвольных множеств, не только числовых: они помогают визуализировать отношения включения и пересечения при решении комбинаторных задач, задач на пересечение множеств и при построении доказательств методом контрапозиции.

¶Смежные понятия

Ряд математических структур также образует иерархию, которую можно отобразить аналогичным образом: кольца, поля, упорядоченные поля, сопряжённые кольца и тому подобное. В общем виде круги Эйлера применимы к любой цепи включений множеств.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс истории математики. Том 1.
• Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики.
• Кантор Г. О представлении реального множества множеством действительных чисел (1874).
• Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа (1872).
• Энциклопедический словарь математических терминов.