Квантиль в статистике¶

Квантиль — это значение, ниже (или выше) которого находится заданная доля наблюдений в упорядоченном наборе данных. Квантили являются обобщением понятия процентилей и применяются в математической статистике, теории вероятностей, экономике, инженерии и анализе данных для описания распределения случайных величин и сравнения выборок.

¶Определение

Пусть дана случайная величина $X$ с функцией распределения $F(x)$. Квантилем уровня $p$ (где $0 < p < 1$) называется значение $x_p$, такое что

$$F(x_p) \leq p \leq F(x_p + 0).$$

Для непрерывных распределений условие упрощается: квантиль уровня $p$ — это решение уравнения $F(x_p) = p$. Для дискретных распределений квантиль может не быть единственным; в этом случае обычно выбирают наименьшее значение, удовлетворяющее условию.

В теории вероятностей для квантиля используется обозначение $x_p$ или $q(p)$, в статистике — часто $Q(p)$. Связь с процентилями прямая: квантиль уровня $p$ совпадает с $p \cdot 100$-процентилем.

¶Основные квантили

Наиболее часто используются три специальных значения:

• Медиана (квантиль уровня 0,5) — значение, делящее упорядоченную выборку пополам. Обозначается $Q_2$ или $M_e$.
• Квартили — квантили уровней 0,25 ($Q_1$) и 0,75 ($Q_3$). Разность $Q_3 - Q_1$ называется межквартильным размахом (interquartile range, IQR) и служит мерой разброса данных.
• Децили — квантили уровней 0,1, 0,2, …, 0,9, делящие выборку на 10 равных по числу наблюдений частей.
• Перцентили — квантили уровней 0,01, 0,02, …, 0,99 (то есть 100 равных долей).

¶Оценка квантилей по выборке

Для выборки $x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \dots \leq x_{(n)}$ (значения в неубывающем порядке) квантиль уровня $p$ оценивается по формуле:

$$\hat{x}_p = x_{(\lceil np \rceil)},$$

где $\lceil \cdot \rceil$ — функция округления вверх. Существуют и другие правила интерполяции (например, используемое в пакете R по умолчанию или в Microsoft Excel), различающиеся способом выбора позиции в упорядоченной выборке при неполном совпадении $np$ с целым числом.

Для нормального распределения $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ квантиль уровня $p$ вычисляется как $x_p = \mu + \sigma \cdot z_p$, где $z_p$ — квантиль стандартного нормального распределения. Например, $z_{0,95} \approx 1{,}645$, $z_{0,975} \approx 1{,}96$.

¶Свойства

• Квантиль — монотонная функция уровня $p$: если $p_1 < p_2$, то $x_{p_1} \leq x_{p_2}$.
• Для любого распределения медиана делит вероятностную массу пополам: $P(X \leq M_e) \geq 0{,}5$ и $P(X \geq M_e) \geq 0{,}5$.
• Межквартильный размах устойчив к выбросам (робастен), в отличие от стандартного отклонения, поэтому квантильные меры разброса предпочтительнее при наличии аномальных значений.
• Квантили инвариантны относительно монотонных преобразований: если $Y = g(X)$ при возрастающем $g$, то квантиль $Y$ уровня $p$ равен $g(x_p)$.

¶Применение

¶Статистический анализ данных

Квантили используются для построения ящика с усами (box plot) — графического метода визуализации распределения, где границы ящика задаются квартилями $Q_1$ и $Q_3$, а «усы» обычно откладываются на расстоянии $1{,}5 \cdot IQR$ от ящика.

¶Финансы и риск-менеджмент

В управлении финансовыми рисками квантили распределения доходности применяются для расчёта Value at Risk (VaR) — величины потерь, которую инвестор не превысит с заданной вероятностью (обычно 95 % или 99 %) за определённый период. Квантильный подход лежит в основе методов, рекомендуемых Базельским комитетом по банковскому надзору.

¶Качество и надёжность

В промышленной статистике квантили времени до отказа (например, квантиль выживания 0,9) характеризуют надёжность изделий. В обзорах заработных плат медиана и квартили используются вместо среднего, поскольку зарплатное распределение обычно сильно асимметрично.

¶Теория распределений

Квантильная функция (обратная к функции распределения) часто используется для генерации псевдослучайных чисел: метод обратных функций сводит задачу к вычислению $x_p$ для равномерно распределённого $p$.

¶Квантиль и математическое ожидание

Для симметричных распределений медиана совпадает с математическим ожиданием (при его существовании). Для асимметричных распределений (например, логистического или распределения Парето) медиана и среднее различаются, причём медиана устойчивее к выбросам, что делает её предпочтительной мерой центральной тенденции в прикладных исследованиях.

¶История

Понятие квантилей развивалось в рамках математической статистики в первой половине XX века. Термин «квантиль» ввёл в оборот американский статистик Джозеф Хавилан Эйкен (Joseph Haviland Elderton) в 1910-х годах; широкое распространение термин получил в работах Карла Пирсона и его школы. Метод квартилей и медианы активно применялся в биометрии и социальной статистике, где распределения признаков часто не подчиняются нормальному закону.

¶Источники

• Крамер Г. Математические методы статистики. — М.: Мир, 1975.
• Болшев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1983.
• Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1999.
• Девятников В. И. Прикладная математическая статистика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015.