Открыть сервисСервис
Главная → Блог → Линейное алгебраическое уравнение

Линейное алгебраическое уравнение

Линейное алгебраическое уравнение — алгебраическое уравнение вида $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b$, в котором неизвестные входят в первой степени и не перемножаются между собой. Наиболее известный частный случай — уравнение с одним неизвестным $ax = b$ ($a \neq 0$), имеющее единственное решение $x = b/a$. Система линейных уравнений с неизвестными $x_1, \dots, x_n$ и заданными коэффициентами $a_{ij}$ и правыми частями $b_i$ записывается в виде $\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j = b_i$, $i = 1, \dots, m$. В школьной программе линейные уравнения изучаются впервые как уравнения вида $ax + b = 0$ и служат основой для решения более сложных уравнений и задач.

Виды линейных уравнений

По числу неизвестных линейные уравнения делятся на:

  • Уравнения с одним неизвестным — вид $ax + b = 0$. При $a \neq 0$ имеет единственное решение $x = -b/a$; при $a = 0$ и $b = 0$ имеет бесконечно много решений; при $a = 0$ и $b \neq 0$ решений нет.
  • Уравнения с двумя неизвестными — вид $ax + by = c$. Геометрически множество решений представляет собой прямую на плоскости.
  • Уравнения с тремя и более неизвестными — вид $a_1x_1 + \dots + a_nx_n = b$. Множество решений в $n$-мерном пространстве является гиперплоскостью.

По характеру правой части линейные уравнения разделяют на однородные ($b = 0$, то есть $a_1x_1 + \dots + a_nx_n = 0$) и неоднородные ($b \neq 0$). Однородная система всегда имеет тривиальное решение $x_1 = \dots = x_n = 0$; нетривиальные решения существуют тогда и только тогда, когда число уравнений меньше числа неизвестных или определитель системы равен нулю.

Системы линейных уравнений

Система $m$ линейных уравнений с $n$ неизвестными записывается как:

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2, \\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m. \end{cases}$$

Коэффициенты $a_{ij}$ образуют матрицу $A$ размера $m \times n$, векторы $x$ и $b$ — столбцы длины $n$ и $m$ соответственно. В матричной записи система имеет вид $Ax = b$. Согласно теореме Кронекера — Капелли, система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы $A$ равен рангу расширенной матрицы $(A \mid b)$.

Методы решения

  • Метод Гаусса (приведение к ступенчатому виду) — последовательное исключение неизвестных элементарными преобразованиями строк; универсальный алгоритм, применимый к системам любой размерности.
  • Правило Крамера — решение системы $n$ уравнений с $n$ неизвестными через определители: $x_j = D_j / D$, где $D = \det A \neq 0$, а $D_j$ — определитель матрицы, полученной заменой $j$-го столбца на столбец правых частей. Практически применяется при малых $n$ из-за высокой вычислительной сложности.
  • Метод обратной матрицы — $x = A^{-1}b$, если $A$ квадратная и обратимая.
  • Матричное разложение (разложение LU, QR) — эффективные численные методы для систем большой размерности.

Численные методы

Для систем с большим числом неизвестных прямые методы (Гаусса, Крамера) уступают итерационным: методу Зейделя, методу верхней релаксации, методу сопряжённых градиентов. Они последовательно уточняют приближение к решению и особенно эффективны при разреженных матрицах, возникающих при дискретизации дифференциальных уравнений. Сходимость итерационных методов зависит от свойств матрицы (например, диагонального доминирования).

Геометрическая интерпретация

Каждое линейное уравнение с $n$ неизвестными определяет гиперплоскость в $n$-мерном евклидовом пространстве. Решение системы — точка пересечения соответствующих гиперплоскостей. Система может быть:

  • Совместной определённой — единственное решение (гиперплоскости пересекаются в одной точке);
  • Совместной неопределённой — бесконечно много решений (гиперплоскости имеют общую подпространственную часть);
  • Несовместной — решений нет (гиперплоскости не имеют общей точки).

Применение

Линейные уравнения и системы являются математическим аппаратом широкого круга задач:

История

Понятие линейного уравнения с одним неизвестным использовалось ещё в Древнем Египте (папирус Ринда, около 1650 года до н. э.), где решались задачи вида, эквивалентного $x + a = b$. Системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными решались в «Девяти главах математического искусства» (Китай, I век н. э.) методом, близким к методу Гаусса. Персидский математик аль-Хорезми (IX век) систематизировал методы решения линейных и квадратных уравнений. Понятие определителя и правило Крамера сформулированы в XVIII веке (Габриэль Крамер, 1750). Матричная теория линейных уравнений создана в XIX веке работами Карла Фридриха Гаусса, Артура Кэли и Вильгельма Джордана.

Источники

  • Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
  • Гельфанд И. М. Линейная алгебра
  • Фадеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по алгебре
  • Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры
  • Гранат А. А. Математический энциклопедический словарь

Похожие материалы

Заметили ошибку или не согласны с информацией в статье? Напишите нам support@bfometr.ru