Линейный оператор — понятие линейной алгебры¶

Линейный оператор — это отображение векторного пространства, которое сохраняет операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр. Линейные операторы являются центральным объектом линейной алгебры и лежат в основе теории линейных уравнений, спектрального анализа и многих разделов математики и физики.

¶Определение

Пусть $V$ и $W$ — векторные пространства над одним и тем же полем $K$ (обычно полем действительных или комплексных чисел). Отображение $A\colon V \to W$ называется линейным оператором (или линейным преобразованием), если для любых векторов $x, y \in V$ и любого скаляра $\lambda \in K$ выполняются условия:

• аддитивность: $A(x + y) = Ax + Ay$;
• гомогенность: $A(\lambda x) = \lambda Ax$.

Эти два свойства можно объединить в одно: $A(\lambda x + \mu y) = \lambda Ax + \mu Ay$ для любых $\lambda, \mu \in K$. Если $W = V$, оператор называют линейным оператором на пространстве $V$; в частности, отображение $\mathrm{id}_V\colon x \mapsto x$ (единичный оператор) и отображение $x \mapsto 0$ (нулевой оператор) являются линейными.

¶Основные понятия

¶Ядро и образ

Ядром линейного оператора $A\colon V \to W$ называется множество всех векторов, отображаемых в нулевой вектор: $\ker A = \{x \in V \mid Ax = 0\}$. Ядро является подпространством $V$. Образ оператора — множество $\mathrm{Im}\, A = \{Ax \mid x \in V\}$, которое является подпространством $W$. Теорема о ранге и дефекте устанавливает соотношение $\dim \ker A + \dim \mathrm{Im}\, A = \dim V$. Число $\dim \mathrm{Im}\, A$ называется рангом оператора, а $\dim \ker A$ — дефектом (или нуль-размерностью).

¶Обратный оператор

Линейный оператор $A\colon V \to W$ называется обратимым, если существует оператор $A^{-1}\colon W \to V$, такой что $A^{-1}A = \mathrm{id}_V$ и $AA^{-1} = \mathrm{id}_W$. Оператор обратим тогда и только тогда, когда он является биекцией, что равносильно выполнению условий $\ker A = \{0\}$ и $\mathrm{Im}\, A = W$. Для операторов на конечномерных пространствах это равносильно тому, что ранг равен размерности пространства.

¶Собственные векторы и собственные значения

Ненулевой вектор $x \in V$ называется собственным вектором оператора $A$, если существует скаляр $\lambda$ такой, что $Ax = \lambda x$. Скаляр $\lambda$ называется собственным значением, соответствующим вектору $x$. Уравнение $\det(A - \lambda E) = 0$ называется характеристическим уравнением, а многочлен $p(\lambda) = \det(A - \lambda E)$ — характеристическим многочленом оператора. Корни характеристического многочлена дают собственные значения оператора. Кратность корня $\lambda$ как корня характеристического многочлена называется алгебраической кратностью, а размерность собственного подпространства, соответствующего $\lambda$, — геометрической кратностью.

¶Матричное представление

Линейный оператор на конечномерном пространстве полностью определяется своей матрицей. Пусть $A\colon V \to V$, $\dim V = n$, и $\{e_1, \dots, e_n\}$ — базис пространства $V$. Тогда оператор однозначно задаётся столбцами $Ae_j$, выраженными в этом базисе:

$$Ae_j = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} e_i, \quad j = 1, \dots, n.$$

Матрица $(a_{ij})$ называется матрицей оператора в данном базисе. Смена базиса приводит к замене матрицы оператора на подобную матрицу: $A' = P^{-1}AP$, где $P$ — матрица перехода. Два оператора называются подобными (или эквивалентными), если их матрицы в некоторых базисах связаны таким соотношением. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлена, след и определитель.

¶Классификация операторов

Наиболее изученные типы линейных операторов на евклидовом пространстве:

Согласно основной теореме линейной алгебры, любой линейный оператор на комплексном векторном пространстве имеет верхнетреугольную матрицу в некотором базисе. Для симметрических операторов на действительном евклидовом пространстве существует ортонормальный базис, в котором матрица оператора диагональна (теорема о приведении квадратичной формы к диагональному виду). Ортогональные операторы на плоскости классифицируются как повороты и отражения.

¶Применение

Линейные операторы применяются во многих областях:

• Математический анализ: производная — это линейное отображение пространства функций; ряды Тейлора и Фурье связаны с линейными операторами.
• Квантовая механика: наблюдаемые величины соответствуют линейным самосопряжённым операторам на гильбертовом пространстве, а собственные значения соответствуют возможным результатам измерений.
• Дифференциальные уравнения: решение линейного однородного уравнения $y' = A(t)y$ задаётся фундаментальной матрицей, связанной с фундаментальной системой решений.
• Теория управления: матрица состояния линейной динамической системы описывает эволюцию системы линейным оператором.
• Компьютерная графика: аффинные преобразования (поворот, масштабирование, перенос) реализуются с помощью линейных операторов и матриц.
• Компьютерные науки: сингулярное разложение (SVD) и главные компоненты (PCA) основаны на спектральном разложении линейных операторов.

¶Обобщения

Понятие линейного оператора обобщается на случай бесконечномерных пространств (в частности, гильбертовых и банаховых пространств), где операторы могут быть не всюду определены и не обязательно ограничены. В функциональном анализе изучаются непрерывные (ограниченные) линейные операторы, их спектры и инвариантные подпространства. Другое обобщение — линейные операторы между модулями над произвольным кольцом, изучаемые в абстрактной алгебре.

¶История

Понятие линейного преобразования развивалось в XIX веке в связи с работами по теории уравнений и кватернионам. Термин «вектор» и систематическое изложение линейной алгебры в современном виде связаны с работами Джозефа Лагранжа, Огюстена Коши, Германа Грассмана и Уильяма Гамильтона. В XX веке теория линейных операторов получила развитие в трудах Джона фон Неймана и других исследователей функционального анализа.

¶Источники

• Гантмахер Ф. Р. «Теория матриц».
• Курош А. Г. «Курс линейной алгебры».
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика», т. 3: «Квантовая механика. Нерелятивистская теория».
• Прасолов В. В. «Задачи и теоремы линейной алгебры».
• Хорн Р., Джонсон Ч. «Матричный анализ».