Локально компактная абелева группа¶

Локально компактная абелева группа — это топологическая группа, которая одновременно является локально компактным топологическим пространством и абелевой (коммутативной) группой. В теории топологических групп локально компактные абелевы группы (ЛКА-группы) занимают центральное место, поскольку для них развита теория двойственности Понтрягина, обобщающая классическое преобразование Фурье на произвольные коммутативные группы.

¶Определение и основные свойства

Группа \( G \) называется локально компактной абелевой группой, если:

1. \( G \) является абелевой группой (операция коммутативна);
2. \( G \) наделена топологией, относительно которой групповая операция \((x,y) \mapsto x+y\) и взятие обратного элемента \(x \mapsto -x\) непрерывны;
3. \( G \) является локально компактным хаусдорфовым пространством (каждая точка имеет окрестность с компактным замыканием).

Из локальной компактности и хаусдорфовости следует, что группа является вполне регулярной. Важным следствием является существование меры Хаара — единственной (с точностью до множителя) инвариантной относительно сдвигов меры Радона на группе.

¶Примеры

• Конечные группы с дискретной топологией (например, \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)).
• Дискретные группы (счётные или несчётные) — любая абелева группа с дискретной топологией локально компактна.
• Компактные абелевы группы: тор \(\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}\), группа целых p-адических чисел \(\mathbb{Z}_p\), произвольные компактные абелевы группы (например, \(\prod_{i} \mathbb{T}\)).
• Группа действительных чисел \(\mathbb{R}\) с обычной топологией.
• Группа целых чисел \(\mathbb{Z}\) с дискретной топологией.
• Группа p-адических чисел \(\mathbb{Q}_p\) с топологией, индуцированной p-адической метрикой.
• Прямые произведения вида \(\mathbb{R}^n \times \mathbb{T}^m \times D \times C\), где \(D\) — дискретная абелева группа, \(C\) — компактная абелева группа (структурная теорема).

¶Структурная теория

¶Теорема Понтрягина о структуре

Всякая локально компактная абелева группа является топологически изоморфной прямому произведению \(\mathbb{R}^n \times \mathbb{T}^m \times D \times C\), где:

• \(n, m\) — неотрицательные целые числа;
• \(D\) — дискретная абелева группа;
• \(C\) — компактная абелева группа.

Это разложение не единственно, но размерности \(n\) и \(m\) определены однозначно. Группа называется связной, если \(m=0\) и \(D\) тривиальна; вполне несвязной, если \(n=0\) и \(C\) дискретна.

¶Компактно порождённые группы

Группа называется компактно порождённой, если существует компактное подмножество, порождающее всю группу (алгебраически). Для ЛКА-групп это эквивалентно существованию компактной окрестности единицы, порождающей группу. Примеры: \(\mathbb{R}^n\), \(\mathbb{Z}^n\), компактные группы. Не всякая ЛКА-группа компактно порождена (например, \(\mathbb{Q}_p\) не компактно порождена).

¶Двойственность Понтрягина

Центральный результат теории — двойственность Понтрягина, устанавливающая изоморфизм между категорией ЛКА-групп и её двойственной категорией.

¶Характеры и двойственная группа

Характером ЛКА-группы \(G\) называется непрерывный гомоморфизм \(\chi: G \to \mathbb{T}\) (в мультипликативной записи — в единичную окружность). Множество всех характеров \(\widehat{G}\) образует абелеву группу относительно поточечного умножения. Топология на \(\widehat{G}\) вводится как топология равномерной сходимости на компактных подмножествах \(G\). Тогда \(\widehat{G}\) также является ЛКА-группой, называемой двойственной группой к \(G\).

¶Теорема двойственности

Для любой ЛКА-группы \(G\) естественное вложение \(G \to \widehat{\widehat{G}}\) (каждому элементу \(g\) сопоставляется характер \(\chi \mapsto \chi(g)\) на \(\widehat{G}\)) является топологическим изоморфизмом. Таким образом, \(\widehat{\widehat{G}} \cong G\).

¶Примеры двойственных пар

¶Мера Хаара и гармонический анализ

¶Мера Хаара

На любой ЛКА-группе существует мера Хаара — левоинвариантная мера Радона (т.е. \(\mu(gA) = \mu(A)\) для всех \(g \in G\) и измеримых \(A\)). В силу абелевости она автоматически правоинвариантна. Мера единственна с точностью до умножения на положительную константу. Примеры:

• На \(\mathbb{R}\) — мера Лебега;
• На \(\mathbb{T}\) — мера, индуцированная мерой Лебега на \([0,1)\);
• На дискретной группе — считающая мера;
• На компактной группе — нормированная мера (общий объём равен 1).

¶Преобразование Фурье

Для ЛКА-группы \(G\) с мерой Хаара \(\mu\) и двойственной группы \(\widehat{G}\) с мерой Хаара \(\hat{\mu}\) определяется преобразование Фурье функции \(f \in L^1(G)\): \[ \hat{f}(\chi) = \int_G f(g) \overline{\chi(g)} \, d\mu(g), \quad \chi \in \widehat{G}. \] Оно отображает \(L^1(G)\) в пространство непрерывных функций на \(\widehat{G}\), затухающих на бесконечности. Для \(L^2(G)\) преобразование Фурье продолжается до унитарного изоморфизма между \(L^2(G)\) и \(L^2(\widehat{G})\) (теорема Планшереля).

¶Формула обращения

Для достаточно хороших функций (например, из \(L^1(G) \cap L^2(G)\)) справедлива формула обращения: \[ f(g) = \int_{\widehat{G}} \hat{f}(\chi) \chi(g) \, d\hat{\mu}(\chi), \] где мера \(\hat{\mu}\) на \(\widehat{G}\) нормирована так, чтобы выполнялось равенство Парсеваля.

¶Применения

¶Теория чисел

• Адели и идели: кольцо аделей \(\mathbb{A}_K\) и группа иделей \(\mathbb{I}_K\) числового поля \(K\) являются ЛКА-группами. Гармонический анализ на них лежит в основе аналитической теории чисел (теория L-функций, закон взаимности).
• p-адический анализ: группа \(\mathbb{Q}_p\) и её компактная подгруппа \(\mathbb{Z}_p\) — ЛКА-группы, используемые в p-адической математической физике и теории представлений.

¶Теория представлений

Двойственность Понтрягина является частным случаем двойственности Танаки — Крейна для компактных групп и обобщается на некоммутативные локально компактные группы (теория двойственности Каца — Танаки).

¶Квантовая механика

Преобразование Фурье на \(\mathbb{R}^n\) (ЛКА-группа) — основа квантовой механики (соотношения неопределённости, импульсное представление). На компактных группах (например, группа вращений \(SO(3)\)) гармонический анализ даёт разложение по сферическим функциям.

¶Криптография

Конечные абелевы группы (частный случай ЛКА-групп с дискретной топологией) используются в криптосистемах (например, эллиптическая криптография, криптосистема Диффи — Хеллмана).

¶Связь с другими областями

• Теория категорий: категория ЛКА-групп с непрерывными гомоморфизмами является абелевой категорией, но не является полной подкатегорией категории топологических групп.
• Функциональный анализ: C-алгебра группы \(C^(G)\) и групповая алгебра \(L^1(G)\) тесно связаны с двойственностью Понтрягина.
• Эргодическая теория: ЛКА-группы служат фазовым пространством для многих динамических систем (например, сдвиги на торе).

¶История

Теория локально компактных абелевых групп была систематически развита в 1930–1940-х годах в работах Льва Понтрягина, Эгберта ван Кампена, Андре Вейля и других. Понтрягин в 1934 году опубликовал свою теорию двойственности, которая стала фундаментом для последующего развития гармонического анализа на группах. В 1940-х годах Вейль дал аксиоматическое построение меры Хаара на локально компактных группах, что завершило формальную основу теории.

¶Интересные факты

• Существуют ЛКА-группы, не являющиеся изоморфными прямому произведению \(\mathbb{R}^n \times \mathbb{T}^m \times D \times C\) в категории топологических групп (например, группа \(\mathbb{Q}_p\) не допускает такого разложения, хотя структурная теорема утверждает, что она изоморфна такому произведению как топологическая группа, но не как топологическая группа с дополнительной структурой).
• Категория ЛКА-групп является самодвойственной в смысле двойственности Понтрягина: \(\widehat{\widehat{G}} \cong G\).
• Для некоммутативных локально компактных групп двойственность Понтрягина не работает; вместо неё применяется теория двойственности Танаки — Крейна (для компактных групп) и теория двойственности Каца (для локально компактных групп).

¶Источники

• Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — М.: Наука, 1973.
• Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Том 1. — М.: Мир, 1975.
• Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применения. — М.: ИЛ, 1950.
• Folland G. B. A Course in Abstract Harmonic Analysis. — CRC Press, 1995.
• Morris S. A. Pontryagin Duality and the Structure of Locally Compact Abelian Groups. — Cambridge University Press, 1977.