Ломаная линия в геометрии¶

Ломаная линия — геометрическая фигура, состоящая из конечного набора отрезков, последовательно соединённых своими концами. Каждый отрезок называется звеном ломаной, а общие точки соседних звеньев — вершинами. Ломаная является одним из базовых понятий элементарной геометрии и широко используется в математике, черчении, компьютерной графике и инженерных расчётах.

¶Определение и элементы

Ломаная задаётся упорядоченной последовательностью точек A₁, A₂, …, Aₙ (n ≥ 2), которые соединяются отрезками A₁A₂, A₂A₃, …, Aₙ₋₁Aₙ. Точки A₁ и Aₙ называют концами ломаной, остальные — промежуточными вершинами. Число звеньев на единицу меньше числа вершин.

Если концы ломаной совпадают, она называется замкнутой; в противном случае — незамкнутой (открытой). Замкнутая ломаная без самопересечений ограничивает многоугольник и часто отождествляется с его границей.

Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев. Это понятие лежит в основе измерения кривых: длину произвольной кривой определяют как предел длин вписанных в неё ломаных при неограниченном измельчении звеньев.

¶Виды ломаных

Различают несколько классификаций:

• По замкнутости: незамкнутые и замкнутые.
• По самопересечению: простые (без самопересечений) и самопересекающиеся.
• По взаимному расположению звеньев: выпуклые и невыпуклые (для замкнутых).
• По величине углов: у плоской ломаной углы между соседними звеньями могут быть выпуклыми (меньше 180°) или невыпуклыми.

Отдельно выделяют правильную (регулярную) ломаную, у которой все звенья равны и все углы между соседними звеньями одинаковы. Замкнутая правильная ломаная с n звеньями образует правильный n-угольник, если не имеет самопересечений.

Пространственная ломаная — фигура, вершины которой не лежат в одной плоскости. Простейший пример — пространственная замкнутая ломаная с четырьмя звеньями, служащая моделью некоторых молекулярных цепей.

¶Свойства

Для плоской ломаной справедлив ряд утверждений:

1. Длина ломаной не меньше расстояния между её концами (неравенство треугольника в обобщённой форме).
2. Равенство достигается тогда и только тогда, когда все звенья лежат на одной прямой и направлены в одну сторону.
3. Любая замкнутая ломаная имеет чётное число точек пересечения с прямой, если считать с учётом кратности (для простых замкнутых ломаных — чётное число пересечений с любой прямой, не проходящей через вершины).

Сумма внешних углов простой замкнутой ломаной (многоугольника) равна 360°. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника составляет (n − 2) · 180°.

¶Применение

В математике. Ломаные используются при построении графиков кусочно-заданных функций, в численных методах (метод ломаных Эйлера для приближённого решения дифференциальных уравнений), в теории приближений (кусочно-линейная интерполяция, сплайны).

В черчении и инженерной графике. Ломаные линии применяются для изображения разрывов, линий обрыва, сгибов, а также как вспомогательные построения. В машиностроительных чертежах ломаной линией обозначают линии сгиба на развёртках.

В компьютерной графике. Векторные изображения строятся из отрезков и кривых; ломаная (полилиния) — базовый примитив большинства графических редакторов и форматов (SVG, DXF). Аппроксимация гладких кривых ломаными лежит в основе растровой и векторной визуализации.

В геодезии и картографии. Границы участков, маршруты, горизонтали рельефа часто представляют в виде ломаных. Полилинии используются в геоинформационных системах для описания линейных объектов — дорог, рек, трубопроводов.

В физике и химии. Пространственные ломаные моделируют конформации полимерных цепей, траектории частиц в приближённых моделях броуновского движения.

¶Связь с другими понятиями

Ломаная — частный случай более общего понятия полилинии (в вычислительной геометрии и графике термины часто употребляются как синонимы). Замкнутая простая ломаная есть многоугольник. Предельный переход от ломаной к кривой при стремлении длины наибольшего звена к нулю лежит в основе определения длины дуги кривой и понятия спрямляемой кривой.

В топологии ломаные (полигональные пути) применяются при доказательстве теорем о связности областей и в теории гомотопий: любую непрерывную кривую в евклидовом пространстве можно приблизить ломаной с любой заданной точностью.

¶Интересные факты

• Теорема о том, что кратчайший путь между двумя точками на плоскости — отрезок, является следствием свойства ломаной: среди всех ломаных с данными концами наименьшую длину имеет одно-звенная (отрезок).
• В 1960-х годах в вычислительной геометрии были разработаны эффективные алгоритмы проверки простоты ломаной (отсутствия самопересечений) и вычисления её пересечений, что важно для задач автоматизированного проектирования.
• Понятие ломаной встречается уже в «Началах» Евклида, где длина окружности определяется через вписанные правильные многоугольники — по сути, замкнутые правильные ломаные.

Источники: учебники по элементарной геометрии (Атанасян и др.), «Начала» Евклида, справочники по вычислительной геометрии (Препарата, Шеймос), материалы по инженерной графике и компьютерной графике.