Математические методы¶

Математические методы — совокупность приёмов, моделей и вычислительных инструментов, применяемых для описания, анализа и решения задач в различных областях науки, техники и экономики. К математическим методам относятся разделы математики (линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, дискретная математика), а также численные и вычислительные методы, ориентированные на реализацию алгоритмов на ЭВМ.

¶Основные разделы

Математические методы принято группировать по характеру решаемых задач:

• Алгебраические методы — линейная алгебра, теория матриц, теория групп, методы линейной и нелинейной алгебраической оптимизации.
• Аналитические методы — математический анализ, дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление, теория функций комплексного переменного.
• Вероятностно-статистические методы — теория вероятностей, математическая статистика, стохастические процессы, методы обработки данных и машинного обучения.
• Дискретные методы — комбинаторика, теория графов, математическая логика, теория алгоритмов.
• Численные методы — методы приближённого решения уравнений, вычислительная линейная алгебра, методы оптимизации, вычислительная математика.

¶История

Формирование математических методов как самостоятельной области связано с развитием естествознания в XVII–XVIII веках. Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц создали математический анализ, что позволило описывать движение тел и процессы в физике дифференциальными уравнениями. В XIX веке развились теория функций, линейная алгебра и вариационное исчисление.

В России значительный вклад в развитие математических методов внесли М. В. Остроградский, А. М. Ляпунов (устойчивость движения, теория вероятностей), А. А. Марков (цепи Маркова), А. Н. Колмогоров (аксиоматика теории вероятностей, основы вычислительной математики), Л. В. Канторович (методы линейного программирования). В XX веке развитие вычислительной техники превратило численные методы в самостоятельную инженерную дисциплину — вычислительную математику.

¶Численные методы

Численные методы представляют собой алгоритмы, реализуемые на компьютере, для приближённого решения задач, не имеющих точного аналитического решения. К основным направлениям относятся:

• Методы решения алгебраических уравнений — метод Ньютона, метод деления отрезка пополам, итерационные методы.
• Методы решения дифференциальных уравнений — метод Эйлера, метод Рунге — Кутты, метод конечных разностей, метод конечных элементов.
• Методы оптимизации — градиентные методы, методы линейного и нелинейного программирования, методы случайного поиска.
• Методы линейной алгебры — метод Гаусса, методы разложения матриц (QR, SVD), итерационные методы (метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя).

¶Применение

Математические методы используются практически во всех областях:

• Физика и техника — моделирование физических процессов, расчёт конструкций, теория управления.
• Экономика и финансы — модели оптимизации, теория игр, математическая статистика, моделирование рисков.
• Информатика — теория алгоритмов, криптография, машинное обучение, обработка сигналов.
• Биология и медицина — эпидемиологическое моделирование, биостатистика, биоинформатика.
• Социальные науки — статистический анализ данных, моделирование социальных процессов.

¶См. также

• Вычислительная математика
• Математическое моделирование
• Линейное программирование
• Метод конечных элементов

¶Источники

• Крылов А. Н. Лекции о приближённых вычислениях. — Л.: Гостехиздат, 1954.
• Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Высшая школа, 1989.