Матрица — понятие в математике и информатике¶

Матрица — это прямоугольная таблица чисел, символов или выражений, записанных в виде прямоугольного массива, состоящего из строк и столбцов. Матрица является основным объектом линейной алгебры и широко применяется в математике, физике, экономике, инженерии и информатике. Размер матрицы определяется числом строк и столбцов и обозначается как m × n, где m — количество строк, а n — количество столбцов. Матрица с одинаковым числом строк и столбцов называется квадратной.

¶Основные понятия

Каждый элемент матрицы находится на пересечении строки и столбца и обозначается двумя индексами: a_ij, где i — номер строки, j — номер столбца. Например, элемент a₂₃ расположен во второй строке и третьем столбце.

Матрица размером 2 × 3 может выглядеть так:

`` | 1 4 7 | | 2 5 8 | ``

Запись матрицы обычно заключается в круглые или квадратные скобки. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Матрица, у которой единицы стоят на главной диагонали, а остальные элементы равны нулю, называется единичной.

¶Операции над матрицами

¶Сложение и вычитание

Две матрицы можно сложить или вычесть друг из друга, только если они имеют одинаковый размер. Результатом является новая матрица, каждый элемент которой равен сумме или разности соответствующих элементов исходных матриц.

¶Умножение на число

При умножении матрицы на число каждый её элемент умножается на это число.

¶Умножение матриц

Умножение матриц определено не для любых пар. Матрица A размером m × n может быть умножена на матрицу B размером n × k только в том случае, если число столбцов A равно числу строк B. Результат — матрица размером m × k. Элемент результирующей матрицы вычисляется как сумма произведений элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй.

Важная особенность: умножение матриц в общем случае некоммутативно, то есть AB ≠ BA.

¶Транспонирование

Транспонированная матрица получается путём замены строк на столбцы. Если исходная матрица имеет размер m × n, то транспонированная — n × m.

¶Определитель

Для квадратных матриц существует понятие определителя (детерминанта) — числа, которое вычисляется по элементам матрицы по определённым правилам. Определитель 2 × 2 вычисляется как ad − bc для матрицы с элементами a, b, c, d. Определители более высоких порядков вычисляются методом разложения по строке или столбцу.

Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда матрица вырожденная, то есть необратимая. Обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц.

¶Применение

Матрицы используются в самых разных областях:

• Линейная алгебра — решение систем линейных уравнений, вычисление собственных значений и векторов.
• Компьютерная графика — преобразование координат (перенос, поворот, масштабирование) объектов в трёхмерном пространстве выполняется умножением векторов-координат на матрицы преобразований.
• Физика — описания тензоров, квантовая механика (операторы в виде матриц), теория относительности.
• Экономика и статистика — моделирование, матрицы затрат, метод главных компонент.
• Информатика и машинное обучение — нейронные сети построены на матричных операциях, графы и базы данных часто представляются матрицами смежности.

¶Матрицы в повседневной жизни

Простой пример матрицы — таблица Менделеева, где строки и столбцы содержат данные об элементах. Таблица расписания также является матрицей: строки — дни недели, столбцы — уроки. В криптографии матрицы используются в алгоритмах шифрования, а в биологии — при анализе генетических данных.

¶Интересные факты

• Термин «матрица» происходит от латинского matrix — «матка, родильница», что отражает идею порождения новых объектов из исходных данных.
• Матрицы были введены в математику в XVII веке, а их систематическое изучение началось в XIX веке в работах Артура Кэли и Уильяма Гамильтона.
• В 2018 году Глеб Канторович и другие российские математики разработали методы оптимизации, основанные на матричных вычислениях, применяемые в промышленности.

Источники:

• Курош А. Г. Курс линейной алгебры
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц
• Ильин В. А., Ким А. П. Линейная алгебра
• Голуб Г., Ван Л. Численные методы линейной алгебры