Многогранники¶
Многогранники — это класс выпуклых и невыпуклых геометрических тел в трёхмерном пространстве, ограниченных конечным числом плоских граней (многоугольников), которые пересекаются попарно по рёбрам, а рёбра — в вершинах. Многогранники являются основным объектом изучения стереометрии и комбинаторной геометрии, а также находят широкое применение в архитектуре, кристаллографии, компьютерной графике и теории оптимизации.
¶Основные понятия и элементы
Любой многогранник состоит из трёх типов элементов:
- Грани — многоугольники, ограничивающие тело.
- Рёбра — отрезки, по которым грани пересекаются попарно.
- Вершины — точки, в которых сходятся три и более рёбер.
Для выпуклых многогранников числа граней $F$, рёбер $E$ и вершин $V$ связаны формулой Эйлера: $V - E + F = 2$. Эта топологическая закономерность выполняется для любого выпуклого многогранника и, шире, для любого тела, гомеоморфного шару.
¶Классификация
¶По выпуклости
Многогранники делятся на выпуклые (все точки тела лежат по одну сторону от плоскости любой грани) и невыпуклые (самопересекающиеся или с вогнутостями). Выпуклые многогранники изучаются наиболее полно: для них доказаны теоремы о существовании развёрток, о разрешимости задачи о равновесии и другие.
¶По правильности
Выделяют несколько семейств многогранников по степени их симметрии:
| Тип | Описание | Примеры |
|---|---|---|
| Правильные | Все грани — одинаковые правильные многоугольники, сходящиеся в каждой вершине одинаковым образом | Тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр |
| Полуправильные (архимедовы) | Грани — правильные многоугольники минимум двух типов, все вершины эквивалентны | Кубооктаэдр, икосододекаэдр, усечённый тетраэдр |
| Правильные двойственные | Образуются из правильных многогранников центрацией граней | Куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр |
| Катаэдральные | Все грани — симметричные треугольники | Правильные тетраэдр, октаэдр, икосаэдр |
| Однородные | Вершины эквивалентны, грани — правильные многоугольники | Расширенный куб, гирокуб и др. |
Платоновы тела (правильные выпуклые многогранники) — всего их пять: тетраэдр (4 грани-треугольника), куб (6 квадратов), октаэдр (8 треугольников), додекаэдр (12 пятиугольников), икосаэдр (20 треугольников). Их полный перечень доказан ещё античными математиками.
Архимедовы тела — 13 выпуклых полуправильных многогранников, описанных Архимедом и восстановленных в XVI–XVII веках. К ним относятся, например, усечённый октаэдр (14 граней: 8 треугольников и 6 восьмиугольников) и кубооктаэдр (14 граней: 8 треугольников и 6 квадратов).
¶По соотношению с шаром
- Вписанные — все вершины лежат на поверхности одной сферы.
- Описанные — все грани касаются одной сферы.
- Сферические — все рёбра касаются одной сферы.
¶Формулы и свойства
Объём произвольного выпуклого многогранника можно вычислить, разбив его на пирамиды с общей вершиной внутри тела: $V = \frac{1}{3} \sum_{i} S_i h_i$, где $S_i$ — площадь $i$-й грани, $h_i$ — расстояние от внутренней точки до этой грани.
Для правильных многогранников существуют точные формулы объёма и площади поверхности. Например, объём куба с ребром $a$ равен $a^3$, объём тетраэдра с ребром $a$: $\frac{a^3}{6\sqrt{2}}$, объём икосаэдра: $\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}a^3$.
¶История
Понятие многогранника восходит к античной математике. Евдокс Книдский (IV век до н. э.) доказал теорему о пяти правильных телах. Архимед изучил полуправильные многогранники. В эпоху Возрождения интерес к этим телам возродился: Лука Пачоли в трактате «О божественной пропорции» (1509) с иллюстрациями Леонардо да Винчи описал платоновы и архимедовы тела. Иоганн Кеплер в «Harmonices Mundi» (1619) построил модель Вселенной на основе правильных многогранников.
В XIX–XX веках теория многогранников получила развитие в работах О. Шлейфли, который обобщил понятие правильного многогранника на произвольные размерности (правильные политопы), а также в комбинаторной геометрии (работы Л. С. Понтрягина, М. Г. Крейна).
¶Применение
- Кристаллография — симметрия кристаллических решёток описывается правильными и полуправильными многогранниками (Вороновы ячейки).
- Компьютерная графика — моделирование объектов методами полигональных сеток; икосаэдр и его подразделения используются для сферических аппроксимаций.
- Архитектура и строительство — геодезические купола Бакминстера Фуллера построены на основе икосаэдра.
- Оптимизация и математическое программирование — выпуклые многогранники играют центральную роль в линейном программировании: множество допустимых решений является многогранником, а оптимум достигается в его вершине.
- Химия — некоторые молекулы и наноструктуры (фуллерены) имеют многогранную симметрию.
¶См. также
¶Источники
- Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей математики
- Понtryагин Л. С. Плоские кривые и простые замкнутые поверхности
- Шлейфли Л. Regular Polytopes
- Каплан А. С. Многогранники
- Крилова А. А. Геометрия многогранников