Модель Black-Scholes

Модель Блэка — Шоулза — это математическая модель, используемая для оценки теоретической стоимости европейских опционов. Модель была разработана в 1973 году американскими экономистами Фишером Блэком и Майроном Шоулзом, а также Робертом Мертоном, который внёс существенный вклад в её математическое обоснование. Модель основана на предположении, что цена базового актива (например, акции) следует геометрическому броуновскому движению, и позволяет рассчитать справедливую цену опциона колл или пут на момент заключения контракта. За разработку этой модели Майрон Шоулз и Роберт Мертон в 1997 году были удостоены Нобелевской премии по экономике; Фишер Блэк умер в 1995 году и не мог быть номинирован посмертно.

История

До появления модели Блэка — Шоулза не существовало общепринятого метода оценки опционов. Трейдеры и аналитики полагались на интуицию, эмпирические правила и простые модели, такие как биномиальная модель Кокса — Росса — Рубинштейна (которая была разработана позже, в 1979 году). В конце 1960-х годов Фишер Блэк и Майрон Шоулз начали совместную работу над проблемой ценообразования опционов. Они заметили, что цена опциона должна зависеть от нескольких ключевых параметров: текущей цены базового актива, цены исполнения, времени до истечения, безрисковой процентной ставки и волатильности.

В 1970 году Блэк и Шоулз представили первую версию своей модели, но она содержала математические неточности. Роберт Мертон, работавший в Массачусетском технологическом институте, помог им исправить ошибки и дал строгое математическое обоснование, введя понятие непрерывного хеджирования. Результаты были опубликованы в 1973 году в статье «The Pricing of Options and Corporate Liabilities» в журнале Journal of Political Economy. В том же году Чикагская биржа опционов (CBOE) начала торговлю стандартизированными опционами, что обеспечило практическое применение модели.

Основные допущения

Модель Блэка — Шоулза основана на ряде упрощающих допущений, которые редко полностью выполняются на реальных рынках:

• Рынок без трения: отсутствуют транзакционные издержки, налоги и ограничения на короткие продажи.
• Непрерывная торговля: актив можно покупать и продавать в любой момент времени.
• Постоянная безрисковая процентная ставка: ставка по безрисковым активам (например, государственным облигациям) известна и не меняется в течение всего срока действия опциона.
• Логнормальное распределение доходностей: логарифм цены базового актива следует нормальному распределению с постоянной дисперсией (волатильностью).
• Отсутствие дивидендов: базовый актив не выплачивает дивиденды в течение срока действия опциона (хотя существуют модификации модели, учитывающие дивиденды).
• Европейский тип опциона: опцион может быть исполнен только в дату истечения, а не в любой момент до неё.

Формула Блэка — Шоулза

Основная формула модели для цены европейского опциона колл (C) и опциона пут (P) выглядит следующим образом:

\[ C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) \] \[ P = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 N(-d_1) \]

где:

• \( S_0 \) — текущая цена базового актива.
• \( K \) — цена исполнения (страйк) опциона.
• \( T \) — время до истечения опциона (в годах).
• \( r \) — непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка.
• \( e \) — основание натурального логарифма.
• \( N(x) \) — функция стандартного нормального распределения (кумулятивная функция вероятности).
• \( d_1 \) и \( d_2 \) — промежуточные переменные, вычисляемые по формулам:

\[ d_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r + \sigma^2 / 2)T}{\sigma \sqrt{T}} \] \[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} \]

где \( \sigma \) — волатильность базового актива (стандартное отклонение его доходности).

Параметры модели

Для расчёта цены опциона по модели Блэка — Шоулза необходимо знать пять входных параметров:

1. Текущая цена базового актива (\( S_0 \)): известна из рыночных данных.
2. Цена исполнения (\( K \)): фиксирована в контракте.
3. Время до истечения (\( T \)): определяется по календарю.
4. Безрисковая процентная ставка (\( r \)): обычно используется доходность государственных облигаций со сроком, соответствующим сроку опциона.
5. Волатильность (\( \sigma \)): это единственный параметр, который не наблюдается непосредственно на рынке. Волатильность может быть исторической (рассчитанной на основе прошлых данных) или подразумеваемой (выведенной из текущих рыночных цен опционов).

Применение и значение

Модель Блэка — Шоулза стала основой для современной теории финансов и широко применяется в следующих областях:

• Оценка опционов: трейдеры и инвесторы используют модель для определения справедливой цены опционов и выявления переоценённых или недооценённых контрактов.
• Хеджирование: модель позволяет рассчитать коэффициенты хеджирования (например, «дельта»), которые показывают, как изменится цена опциона при изменении цены базового актива. Это используется для создания безрисковых портфелей.
• Управление рисками: финансовые учреждения применяют модель для оценки рисков, связанных с опционными портфелями, и для расчёта требуемого капитала.
• Корпоративные финансы: модель используется для оценки опционов на акции сотрудников (ESOP) и других производных инструментов.

Критика и ограничения

Несмотря на свою популярность, модель Блэка — Шоулза подвергается критике из-за своих упрощающих допущений, которые часто нарушаются в реальности:

• Непостоянная волатильность: на реальных рынках волатильность не является постоянной. Она может меняться со временем и в зависимости от уровня цены (так называемая «улыбка волатильности»). Это приводит к тому, что модель систематически занижает или завышает цены для опционов с разными страйками.
• Логнормальное распределение: распределение доходностей активов часто имеет «толстые хвосты» (экстремальные события происходят чаще, чем предсказывает нормальное распределение), что модель не учитывает.
• Отсутствие транзакционных издержек: на реальных рынках существуют комиссии, спреды и другие издержки, которые делают непрерывное хеджирование невозможным.
• Европейский тип опционов: модель не подходит для оценки американских опционов, которые можно исполнить досрочно. Для них используются другие методы, например, биномиальная модель.
• Дивиденды: базовая модель не учитывает дивиденды, хотя существуют модификации (например, модель Мертона), которые их включают.

Интересные факты

• В 1973 году, когда модель была опубликована, Фишер Блэк и Майрон Шоулз не смогли найти инвесторов, готовых финансировать их хедж-фонд, основанный на модели. Однако позже их подход стал стандартом в индустрии.
• Роберт Мертон, чьё имя часто добавляют к названию модели (модель Блэка — Шоулза — Мертона), в 1998 году стал сооснователем хедж-фонда Long-Term Capital Management (LTCM), который потерпел крах в том же году из-за нарушения допущений модели (в частности, из-за резкого роста волатильности и дефолта России по долгам).
• Модель Блэка — Шоулза лежит в основе многих современных финансовых инноваций, включая структурированные продукты и кредитные деривативы.

Источники

1. Black, F., & Scholes, M. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, 81(3), 637–654.
2. Merton, R. C. (1973). Theory of Rational Option Pricing. The Bell Journal of Economics and Management Science, 4(1), 141–183.
3. Hull, J. C. (2018). Options, Futures, and Other Derivatives (10th ed.). Pearson.
4. Буренин, А. Н. (2018). Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. М.: НТЦ «Контент».