Модель Мертона

Модель Мертона — это финансовая модель, разработанная американским экономистом Робертом Мертоном в 1974 году, которая позволяет оценивать кредитный риск компании, рассматривая её собственный капитал как опцион колл на активы фирмы. Модель является одним из фундаментальных подходов в структурном анализе кредитного риска и используется для определения вероятности дефолта заёмщика.

История и предпосылки создания

Модель Мертона была предложена в 1974 году в статье «On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates», опубликованной в журнале The Journal of Finance. Работа опиралась на теорию ценообразования опционов, разработанную Фишером Блэком, Майроном Шоулзом и самим Робертом Мертоном (за что последний в 1997 году получил Нобелевскую премию по экономике). Мертон первым применил опционную теорию к оценке долговых обязательств, предложив рассматривать акционерный капитал компании как колл-опцион на её активы, а долг — как безрисковый заём за вычетом стоимости опциона на дефолт.

До появления модели Мертона оценка кредитного риска основывалась преимущественно на качественных методах и рейтинговых оценках. Мертон создал количественную основу, связывающую рыночную стоимость активов, структуру капитала и волатильность с вероятностью дефолта.

Основные допущения модели

Модель Мертона базируется на ряде упрощающих предположений, которые ограничивают её применимость на практике:

• Структура капитала: компания имеет только один вид долга — нулевой купонной облигации (дисконтная облигация) с единой датой погашения \( T \). Акционерный капитал представляет собой остаточное требование.
• Активы компании: стоимость активов \( V \) следует геометрическому броуновскому движению с постоянной волатильностью \( \sigma_V \). Рынки активов и долга являются совершенными и ликвидными.
• Отсутствие транзакционных издержек: нет налогов, издержек банкротства, затрат на эмиссию. Рынки безарбитражны.
• Непрерывная торговля: инвесторы могут непрерывно торговать активами.
• Безрисковая ставка: постоянная и известна всем участникам рынка.
• Однородные ожидания: все инвесторы имеют одинаковую информацию и ожидания относительно будущего поведения активов.

Механизм оценки

В модели Мертона дефолт наступает, если на дату погашения долга \( T \) стоимость активов компании \( V_T \) оказывается меньше номинальной стоимости долга \( D \). В этом случае акционеры не получают ничего, а кредиторы получают \( V_T \). Если \( V_T \geq D \), долг погашается полностью, а остаток достаётся акционерам.

Собственный капитал \( E \) в момент \( t \) можно выразить как цену европейского колл-опциона на активы \( V \) с ценой исполнения \( D \) и сроком \( T - t \):

\[ E_t = V_t \cdot N(d_1) - D \cdot e^{-r(T-t)} \cdot N(d_2) \]

где:

• \( N(\cdot) \) — функция стандартного нормального распределения;
• \( r \) — безрисковая процентная ставка;
• \( d_1 = \frac{\ln(V_t / D) + (r + \sigma_V^2/2)(T-t)}{\sigma_V \sqrt{T-t}} \);
• \( d_2 = d_1 - \sigma_V \sqrt{T-t} \).

Стоимость долга \( B_t \) равна \( V_t - E_t \). Вероятность дефолта в риск-нейтральном мире определяется как \( N(-d_2) \), то есть вероятность того, что \( V_T < D \).

Ключевые параметры

Для практического применения модели необходимы следующие входные данные:

• Рыночная стоимость активов \( V \) — не наблюдается непосредственно, оценивается через рыночную капитализацию и структуру долга.
• Волатильность активов \( \sigma_V \) — также ненаблюдаема, оценивается через волатильность акций \( \sigma_E \) и коэффициент чувствительности \( \Delta = N(d_1) \).
• Номинальная стоимость долга \( D \) — берётся из бухгалтерской отчётности (обычно сумма краткосрочных и половины долгосрочных обязательств).
• Срок погашения \( T \) — часто принимается равным одному году для упрощения.
• Безрисковая ставка \( r \) — доходность государственных облигаций соответствующего срока.

Применение на практике

Модель Мертона лежит в основе многих коммерческих систем оценки кредитного риска, таких как Moody’s KMV (сейчас — часть Moody’s Analytics). В этой системе используются модификации модели, в частности, эмпирическое отображение \( N(-d_2) \) в реальные вероятности дефолта (Expected Default Frequency, EDF).

Основные области применения:

• Оценка кредитного риска корпоративных заёмщиков: банки и инвестиционные фонды используют модель для расчёта вероятности дефолта и установления кредитных лимитов.
• Ценообразование корпоративных облигаций и кредитных деривативов: модель позволяет оценить спред доходности к безрисковой ставке.
• Управление портфелем: инвесторы могут оценивать риск-доходность портфеля облигаций.
• Регуляторные требования: в рамках Базельских соглашений (Базель II, III) модель Мертона используется для расчёта капитала под кредитный риск.

Критика и ограничения

Модель Мертона подвергается критике по нескольким причинам:

• Упрощённая структура долга: реальные компании имеют множество долговых инструментов с разными сроками, приоритетами и ковенантами. Единая дата погашения нереалистична.
• Предположение о непрерывной торговле: на практике активы не всегда ликвидны, особенно в кризисных ситуациях.
• Постоянная волатильность: волатильность активов меняется во времени, особенно в периоды стресса.
• Игнорирование издержек банкротства: в реальности банкротство связано с юридическими и административными расходами, которые модель не учитывает.
• Необходимость ненаблюдаемых параметров: стоимость и волатильность активов оцениваются косвенно, что вносит погрешность.
• Статичность: модель не учитывает возможность досрочного дефолта или реструктуризации долга до даты погашения.

Модификации и развитие

Для преодоления ограничений были разработаны многочисленные модификации модели Мертона:

• Модели с несколькими периодами погашения (например, модель Блэка-Кокса, 1976), где дефолт может наступить в любой момент, если стоимость активов падает ниже барьера.
• Модели с учётом издержек банкротства (Лонгстафф и Шварц, 1995).
• Модели с волатильностью, зависящей от времени (стохастическая волатильность).
• Модели для банковского сектора (например, модель Мертона для финансовых институтов с учётом регуляторного капитала).

Интересные факты

• Роберт Мертон получил Нобелевскую премию в 1997 году вместе с Майроном Шоулзом за метод оценки опционов, который лёг в основу модели. Фишер Блэк умер в 1995 году и не был удостоен премии.
• Модель Мертона стала теоретической основой для создания компании KMV (KMV Corporation), основанной в 1989 году. В 2002 году KMV была приобретена Moody’s.
• В 2008 году, во время мирового финансового кризиса, модель Мертона и её модификации подверглись критике за неспособность предсказать дефолты системно значимых банков, таких как Lehman Brothers, из-за предположения о ликвидности активов.

Источники

• Merton, R. C. (1974). On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates. The Journal of Finance, 29(2), 449–470.
• Black, F., & Scholes, M. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, 81(3), 637–654.
• Hull, J. C. (2018). Options, Futures, and Other Derivatives (10th ed.). Pearson.
• Moody’s Analytics. (2020). EDF Model Overview.
• Базельский комитет по банковскому надзору. (2006). International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards (Базель II).