Модель H¶

Модель H — это теоретическая модель в физике конденсированного состояния, описывающая взаимодействие между электронами и фононами в кристаллической решётке, предложенная в 1950-х годах в рамках развития теории сверхпроводимости. Модель H представляет собой гамильтониан, учитывающий электрон-фононное взаимодействие, которое лежит в основе механизма образования куперовских пар в сверхпроводниках. Она является одной из ключевых моделей в теории Бардина — Купера — Шриффера (БКШ), за которую в 1972 году была присуждена Нобелевская премия по физике.

¶История

Модель H была разработана в 1950-х годах в рамках попыток объяснить явление сверхпроводимости, открытое Хейке Камерлинг-Оннесом в 1911 году. До середины XX века не существовало микроскопической теории, объясняющей, как некоторые материалы при низких температурах теряют электрическое сопротивление. В 1950 году Лев Ландау и Виталий Гинзбург предложили феноменологическую теорию сверхпроводимости, но она не описывала микроскопические механизмы.

В 1956 году Леон Купер теоретически показал, что электроны в металле могут образовывать связанные пары (куперовские пары) благодаря притяжению, опосредованному фононами — квантами колебаний кристаллической решётки. В 1957 году Джон Бардин, Леон Купер и Роберт Шриффер опубликовали полную микроскопическую теорию сверхпроводимости, известную как теория БКШ. В рамках этой теории была предложена модель H — гамильтониан, описывающий взаимодействие электронов с фононами в упрощённой форме.

Модель H получила своё название из-за обозначения гамильтониана буквой H в математической физике. Она стала основой для многих последующих работ в области сверхпроводимости и физики твёрдого тела.

¶Основные положения

¶Гамильтониан модели H

Модель H записывается в виде гамильтониана, который включает три основных члена:

• Электронная часть — описывает кинетическую энергию электронов в кристаллической решётке, включая их взаимодействие с периодическим потенциалом ионов.
• Фононная часть — описывает колебания ионов решётки, которые квантуются как фононы.
• Взаимодействие — член, учитывающий обмен виртуальными фононами между электронами, что приводит к эффективному притяжению.

Математически гамильтониан модели H записывается как:

\[ H = \sum_{\mathbf{k}, \sigma} \epsilon_{\mathbf{k}} a_{\mathbf{k}\sigma}^{\dagger} a_{\mathbf{k}\sigma} + \sum_{\mathbf{q}} \hbar \omega_{\mathbf{q}} b_{\mathbf{q}}^{\dagger} b_{\mathbf{q}} + \sum_{\mathbf{k}, \mathbf{q}, \sigma} g_{\mathbf{k}, \mathbf{q}} a_{\mathbf{k}+\mathbf{q},\sigma}^{\dagger} a_{\mathbf{k},\sigma} (b_{\mathbf{q}} + b_{-\mathbf{q}}^{\dagger}) \]

где:

• \( a_{\mathbf{k}\sigma}^{\dagger} \) и \( a_{\mathbf{k}\sigma} \) — операторы рождения и уничтожения электронов с импульсом \(\mathbf{k}\) и спином \(\sigma\);
• \( b_{\mathbf{q}}^{\dagger} \) и \( b_{\mathbf{q}} \) — операторы рождения и уничтожения фононов с импульсом \(\mathbf{q}\);
• \( \epsilon_{\mathbf{k}} \) — энергия электрона;
• \( \hbar \omega_{\mathbf{q}} \) — энергия фонона;
• \( g_{\mathbf{k}, \mathbf{q}} \) — константа электрон-фононного взаимодействия.

¶Механизм притяжения

В модели H электрон-фононное взаимодействие приводит к тому, что электроны обмениваются виртуальными фононами. Это создаёт эффективное притяжение между электронами, которое может превзойти кулоновское отталкивание, если разность энергий электронов меньше энергии фонона. В результате образуются куперовские пары — связанные состояния двух электронов с противоположными спинами и импульсами.

¶Применение

¶Сверхпроводимость

Модель H является основой для описания сверхпроводимости в рамках теории БКШ. Она позволяет вычислить критическую температуру перехода в сверхпроводящее состояние, ширину энергетической щели и другие характеристики. Для простых металлов, таких как алюминий, свинец или ртуть, модель H даёт хорошее согласие с экспериментальными данными.

¶Физика твёрдого тела

Помимо сверхпроводимости, модель H используется для изучения других явлений, связанных с электрон-фононным взаимодействием, таких как:

• Эффект Кондо — рассеяние электронов на магнитных примесях;
• Поляроны — квазичастицы, образующиеся при взаимодействии электрона с фононами;
• Теплопроводность — перенос тепла в кристаллах.

¶Критика и ограничения

Модель H имеет ряд ограничений, которые были выявлены в ходе развития физики:

• Упрощение взаимодействия — модель предполагает, что электрон-фононное взаимодействие является слабым и изотропным, что не всегда выполняется для сложных материалов, таких как высокотемпературные сверхпроводники.
• Игнорирование кулоновского отталкивания — в базовой версии модели H не учитывается прямое кулоновское взаимодействие между электронами, которое может быть значительным.
• Ограниченная применимость — модель H хорошо работает для простых металлов, но не описывает сверхпроводимость в оксидах меди (высокотемпературные сверхпроводники) или в тяжёлых фермионах.

Для преодоления этих ограничений были разработаны расширения модели H, такие как модель Хаббарда с электрон-фононным взаимодействием и модели с сильной связью.

¶Интересные факты

• Модель H была впервые сформулирована в работе Бардина, Купера и Шриффера 1957 года, которая стала одной из самых цитируемых в физике.
• В 1960-х годах модель H была использована для предсказания существования изотопического эффекта в сверхпроводниках, который был экспериментально подтверждён.
• Несмотря на свою простоту, модель H до сих пор используется в учебных курсах по физике твёрдого тела как пример микроскопического описания взаимодействия.

¶Источники

• Бардин Дж., Купер Л., Шриффер Дж. Теория сверхпроводимости. — М.: Наука, 1968.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 2. — М.: Физматлит, 2004.
• Абрикосов А. А. Основы теории металлов. — М.: Наука, 1987.
• Kittel C. Introduction to Solid State Physics. — 8th ed. — Wiley, 2005.