Модель ожидаемой полезности фон Неймана — Моргенштерна

Модель ожидаемой полезности фон Неймана — Моргенштерна — это нормативная теория принятия решений в условиях риска, разработанная математиком Джоном фон Нейманом и экономистом Оскаром Моргенштерном. Она формализует процесс выбора между альтернативами, исходы которых известны с определённой вероятностью, и постулирует, что рациональный индивид максимизирует математическое ожидание некоторой функции полезности, определённой на множестве возможных исходов. Модель является фундаментом современной микроэкономической теории риска и теории игр.

История возникновения

Предпосылки и контекст

До середины XX века в экономической теории доминировала концепция ожидаемой ценности (математического ожидания денежного выигрыша), восходящая к работам математика Блеза Паскаля и юриста Пьера Ферма. Однако ещё в XVIII веке математик Даниил Бернулли в решении «Санкт-Петербургского парадокса» предложил использовать не денежную ценность, а субъективную полезность денег (логарифмическую функцию). Эта идея не получила формального аксиоматического обоснования до середины XX века.

Работа фон Неймана и Моргенштерна

В 1944 году вышла книга Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (Theory of Games and Economic Behavior). В приложении к этой работе авторы впервые строго аксиоматизировали понятие полезности в условиях риска. Они показали, что если предпочтения индивида удовлетворяют определённому набору аксиом, то существует функция полезности (называемая функцией полезности фон Неймана — Моргенштерна, или vNM-функцией), такая что индивид выбирает лотерею (рискованную альтернативу) с максимальным ожидаемым значением этой функции. Это позволило перевести качественные предпочтения в количественную шкалу, инвариантную относительно положительного линейного преобразования.

Аксиомы рационального выбора

Модель фон Неймана — Моргенштерна базируется на четырёх (в различных формулировках — пяти) аксиомах, которые определяют рациональное поведение индивида при выборе между лотереями. Лотерея — это набор исходов с приписанными им вероятностями.

1. Аксиома полноты (сравнимости). Для любых двух лотерей \( L_1 \) и \( L_2 \) индивид может либо предпочесть \( L_1 \) лотерее \( L_2 \) (\( L_1 \succ L_2 \)), либо предпочесть \( L_2 \) (\( L_2 \succ L_1 \)), либо быть безразличным между ними (\( L_1 \sim L_2 \)). Иными словами, любые две альтернативы сравнимы.

1. Аксиома транзитивности (непротиворечивости). Если \( L_1 \succ L_2 \) и \( L_2 \succ L_3 \), то должно выполняться \( L_1 \succ L_3 \). Это свойство исключает циклические предпочтения (например, «камень-ножницы-бумага»).

1. Аксиома непрерывности (архимедово свойство). Если \( L_1 \succ L_2 \succ L_3 \), то существует такая вероятность \( p \in (0,1) \), что индивид будет безразличен между гарантированной лотереей \( L_2 \) и составной лотереей, которая с вероятностью \( p \) даёт \( L_1 \) и с вероятностью \( (1-p) \) даёт \( L_3 \). Эта аксиома гарантирует, что предпочтения не имеют «скачков» и могут быть представлены непрерывной функцией.

1. Аксиома независимости (замены). Если \( L_1 \succ L_2 \), то для любой лотереи \( L_3 \) и любой вероятности \( p \in (0,1] \) составная лотерея \( pL_1 + (1-p)L_3 \) предпочтительнее составной лотереи \( pL_2 + (1-p)L_3 \). Иными словами, предпочтение между двумя альтернативами не должно зависеть от третьей, «нерелевантной» альтернативы, если она с одинаковой вероятностью присутствует в обеих лотереях.

Формальное определение

Пусть \( X = \{x_1, x_2, ..., x_n\} \) — конечное множество возможных исходов (например, денежных сумм). Лотерея \( L \) задаётся как распределение вероятностей на \( X \): \( L = (p_1, p_2, ..., p_n) \), где \( p_i \ge 0 \) и \( \sum p_i = 1 \). Согласно теореме фон Неймана — Моргенштерна, если предпочтения индивида на множестве лотерей удовлетворяют указанным аксиомам, то существует функция полезности \( u: X \to \mathbb{R} \), определённая на исходах, такая что для любых двух лотерей \( L_A \) и \( L_B \):

\[ L_A \succ L_B \iff \sum_{i=1}^n p_i^A u(x_i) > \sum_{i=1}^n p_i^B u(x_i) \]

Функция \( U(L) = \sum p_i u(x_i) \) называется ожидаемой полезностью лотереи. Сама функция \( u(x) \) определена с точностью до положительного линейного преобразования: если \( u(x) \) — функция полезности, то \( v(x) = a + b \cdot u(x) \) (при \( b > 0 \)) также является функцией полезности, описывающей те же предпочтения. Это свойство называется кардинальной полезностью (в отличие от ординальной, допускающей только монотонные преобразования).

Отношение к риску

Форма функции полезности \( u(x) \) определяет отношение индивида к риску.

• Нейтральность к риску. Если функция \( u(x) \) линейна (например, \( u(x) = x \)), то индивид безразличен между гарантированным исходом и лотереей с тем же математическим ожиданием. Ожидаемая полезность равна ожидаемой денежной ценности.

• Неприятие риска (risk aversion). Если функция \( u(x) \) вогнута (вторая производная отрицательна), то индивид предпочитает гарантированный исход лотерее с тем же математическим ожиданием. Например, для функции \( u(x) = \sqrt{x} \) гарантированные 50 рублей предпочтительнее лотереи «100 рублей с вероятностью 0,5 или 0 рублей с вероятностью 0,5» (ожидаемая полезность первой — \( \sqrt{50} \approx 7,07 \), второй — \( 0,5 \cdot \sqrt{100} + 0,5 \cdot \sqrt{0} = 5 \)). Это свойство объясняет существование страхования.

• Склонность к риску (risk seeking). Если функция \( u(x) \) выпукла (вторая производная положительна), индивид предпочитает лотерею гарантированному исходу. Это характерно для азартных игр.

• Постоянное, убывающее и возрастающее абсолютное неприятие риска. Классической мерой неприятия риска является коэффициент Эрроу — Пратта: \( A(x) = -\frac{u''(x)}{u'(x)} \). Функции с постоянным абсолютным неприятием риска (CARA) имеют вид \( u(x) = -e^{-ax} \); с постоянным относительным неприятием риска (CRRA) — \( u(x) = \frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma} \) при \( \gamma \neq 1 \).

Применение

Теория игр

Модель фон Неймана — Моргенштерна является основой для определения полезности в теории игр. В играх с ненулевой суммой или в смешанных стратегиях ожидаемая полезность используется для расчёта равновесия Нэша. Например, в игре «Дилемма заключённого» каждый игрок выбирает стратегию, максимизирующую его ожидаемую полезность с учётом вероятностей действий оппонента.

Финансы и страхование

В финансовой теории модель используется для оценки активов с риском. Инвестор, максимизирующий ожидаемую полезность, выбирает портфель, который лежит на границе эффективности Марковица. В страховании модель объясняет, почему индивиды платят премию, превышающую ожидаемый убыток: вогнутая функция полезности делает гарантированную потерю (страховой взнос) предпочтительнее рискованной потери (вероятность крупного убытка).

Экономика труда и поведенческая экономика

Модель применяется для анализа решений о занятости (выбор между фиксированной зарплатой и переменным доходом), о сбережениях (межвременной выбор), а также для оценки эффективности контрактов. Однако поведенческие экономисты (например, Дэниел Канеман и Амос Тверски) выявили систематические отклонения реального поведения от предсказаний модели, что привело к созданию теории перспектив (Prospect Theory).

Критика и ограничения

Парадокс Алле

Французский экономист Морис Алле в 1953 году продемонстрировал, что реальные индивиды часто нарушают аксиому независимости. В эксперименте участникам предлагали выбор между лотереями, где гарантированный выигрыш (например, 1 млн франков) предпочитался лотерее с высоким, но не гарантированным выигрышем (5 млн франков с вероятностью 0,89 и 0 с вероятностью 0,01). Однако при изменении вероятностей участники демонстрировали обратное предпочтение, что противоречит аксиоме независимости. Этот феномен известен как парадокс Алле.

Парадокс Эллсберга

Дэниел Эллсберг (1961) показал, что индивиды предпочитают известные вероятности неизвестным (неприятие неопределённости). В его эксперименте участники выбирали между лотереями с известным и неизвестным распределением вероятностей, систематически избегая последних. Модель фон Неймана — Моргенштерна не учитывает субъективную неопределённость (в отличие от теории субъективной ожидаемой полезности Сэвиджа).

Эмпирические аномалии

Поведенческие исследования выявили, что люди:

• Чувствительны к фреймингу (формулировке задачи) — один и тот же выбор может быть представлен как выигрыш или потеря, что меняет предпочтения.
• Переоценивают малые вероятности (например, покупают лотерейные билеты с низкими шансами на крупный выигрыш).
• Проявляют эффект владения — требуют больше за отказ от вещи, чем готовы заплатить за её приобретение.

Нормативный характер

Модель фон Неймана — Моргенштерна является нормативной (предписывающей), а не дескриптивной (описательной). Она описывает, как должен поступать рациональный индивид, а не как люди поступают в реальности. Поэтому её используют как эталон для сравнения, а не как точный прогноз поведения.

Альтернативные теории

• Теория перспектив (Канеман и Тверски, 1979) — заменяет функцию полезности функцией ценности, определённой относительно точки отсчёта (статус-кво), и использует весовую функцию вероятностей, учитывающую переоценку малых вероятностей и недооценку средних.
• Теория ожидаемой полезности с сожалением (Лумис и Сагден, 1982) — учитывает эмоцию сожаления от неправильного выбора.
• Теория субъективной ожидаемой полезности (Сэвидж, 1954) — обобщает модель на случай, когда вероятности исходов неизвестны и оцениваются субъективно (аксиоматика Сэвиджа).

Интересные факты

• Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн первоначально разрабатывали теорию игр для экономики, но их модель полезности оказалась применимой в самых разных областях — от философии (теория принятия решений) до искусственного интеллекта (обучение с подкреплением).
• Функция полезности фон Неймана — Моргенштерна может быть определена не только для денег, но и для любых благ (например, здоровья, досуга, социального статуса) при условии, что они измеримы в единой шкале.
• В 1950-е годы модель подвергалась критике со стороны экономистов-институционалистов, считавших её чрезмерно абстрактной и оторванной от реальности. Однако она остаётся стандартным инструментом в микроэкономике и теории финансов.

Источники

• Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970.
• Канеман Д., Тверски А. Принятие решений в условиях неопределённости: правила и предубеждения. — Харьков: Гуманитарный центр, 2014.
• Маленво Э. Лекции по микроэкономическому анализу. — М.: Наука, 1985.
• Mas-Colell A., Whinston M.D., Green J.R. Microeconomic Theory. — Oxford University Press, 1995.
• Arrow K.J. Essays in the Theory of Risk-Bearing. — Chicago: Markham Publishing, 1971.