Объём — физическая величина в физике и математике¶

Объём — физическая величина, характеризующая размеры трёхмерного тела или пространства, которое оно занимает. В Международной системе единиц (СИ) объём измеряется в кубических метрах (м³), в быту и технике также используются литры (л), кубические сантиметры (см³), кубические миллиметры (мм³), кубические километры (км³) и другие производные единицы. Объём является аддитивной величиной: объём системы, состоящей из нескольких тел, равен сумме объёмов отдельных тел.

¶Единицы измерения

В системе СИ основной единицей объёма является кубический метр. Допустимые производные единицы образуются умножением метра на себя дважды. Внесистемные, но широко распространённые единицы:

Литр был введён в 1795 году во Франции как единица, равная объёму одного кубического дециметра. В 1964 году Генеральная конференция по мерам и весам признала литр допустимой единицей, равной ровно 1 дм³, отказавшись от прежнего определения через объём массы 1 кг воды.

¶Формулы вычисления

Для основных геометрических тел объём выражается через линейные размеры:

• Параллелепипед: V = a · b · c, где a, b, c — рёбра.
• Куб: V = a³.
• Призма: V = Sосн · h, где Sосн — площадь основания, h — высота.
• Цилиндр: V = π · R² · h.
• Конус: V = (1/3) · π · R² · h.
• Пирамида: V = (1/3) · Sосн · h.
• Сфера: V = (4/3) · π · R³.
• Эллипсоид: V = (4/3) · π · a · b · c.

Для тел со сложной формой объём вычисляется методами математического анализа. Объём ограниченного тела задаётся тройным интегралом по области, которую занимает тело:

V = ∭ dV

Площадь поперечного сечения, перпендикулярного оси x, обозначают S(x), тогда объём тела между сечениями x = a и x = b находится по формуле:

V = ∫[a→b] S(x) dx

Этот метод применяется при вычислении объёма тел вращения: если кривая y = f(x) вращается вокруг оси x, то V = π ∫[a→b] [f(x)]² dx (формула Баррелли — Ньютона — Гаусса, в русской традиции — формула цилиндрических слоёв).

¶Физические свойства

Объём вещества зависит от температуры и давления. При нагревании большинство тел расширяется, объём увеличивается; при охлаждении — уменьшается. Относительное изменение объёма при изменении температуры на ΔT описывается коэффициентом объёмного расширения:

ΔV = β · V₀ · ΔT

где β — коэффициент объёмного расширения, V₀ — исходный объём. Для жидкостей β ≈ 3α, где α — линейный коэффициент расширения.

Для идеального газа объём связан с давлением и температурой уравнением Менделеева — Клапейрона:

pV = nRT

где p — давление, n — количество вещества в молях, R — универсальная газовая постоянная (8,314 Дж/(моль·К)), T — абсолютная температура. При постоянной температуре объём обратно пропорционален давлению (закон Бойля — Мариотта), при постоянном давлении — прямо пропорционален температуре (закон Гей-Люссака).

В гидродинамике объём жидкости, протекающей через сечение за единицу времени, называется расходом и измеряется в м³/с или л/мин. Объём твёрдого тела, погружённого в жидкость, определяет выталкивающую силу по закону Архимеда.

¶Объём в математике

В математике понятие объёма обобщается на произвольные множества в пространстве. Для измеримых множеств в ℝⁿ объём — это n-мерный объём (в трёхмерном случае — обычный объём, в двумерном — площадь, в одномерном — длина). Строгое определение объёма строится через внешнюю и внутреннюю меры (метод Кантора — Лебега) или через интеграл Лебега.

Понятие объёма лежит в основе интегрального исчисления: интеграл Римана определяется как предел сумм объёмов цилиндрических элементов.

¶Применение

Объём — одна из ключевых величин в технике и науке:

• Строительство и архитектура — расчёт объёма строительных материалов (бетона, кирпича, земляных работ), вместимости помещений.
• Транспорт — грузоподъёмность судов, самолётов, цистерн измеряется в кубических метрах или тоннах (для сыпучих и жидких грузов).
• Химия и фармацевтика — объём растворов, реакционных сосудов, дозировка жидких лекарственных форм.
• Медицина — объём циркулирующей крови, объём лёгких (жизненная ёмкость лёгких), объём выпитой и выведенной жидкости.
• Кулинария и торговля — мерные единицы (литр, стакан, чайная ложка) для отмеривания ингредиентов.
• Геология и гидрология — объём залежей полезных ископаемых, объём водоёмов, сток рек.

¶Интересные факты

• Величина, обратная объёму, называется удельным объёмом и измеряется в м³/кг; она используется в термодинамике и гидродинамике.
• Кубический метр воды при 4 °C имеет массу, близкую к 1000 кг, что исторически связывалось с определением килограмма.
• Объём куба со стороной 1 метр в тысячу раз больше объёма куба со стороной 1 дециметр, хотя линейный размер отличается лишь в 10 раз — наглядный пример кубической зависимости.

¶Источники

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Том I. Механика.
• Иродов И. Е. Задачи по общей физике.
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегральных сумм, рядов и произведений.
• ГОСТ 8.417-2002. Система стандартов по точности (ГСС). Единицы измерений величин.