Ортогональная проекция в геометрии¶

Ортогональная проекция — это изображение пространственного объекта на плоскость или прямую, при котором проецирующие лучи перпендикулярны плоскости (или прямой) проецирования. Является частным случаем параллельной проекции, в которой направление проецирования совпадает с направлением нормали к плоскости проекции. Понятие лежит в основе начертательной геометрии, инженерной графики, аналитической геометрии и векторного анализа.

¶Общее определение

Пусть задана плоскость π и точка A в пространстве. Ортогональной проекцией точки A на плоскость π называется точка A′, являющаяся основанием перпендикуляра, опущенного из A на π. Если точка уже лежит в плоскости, её проекция совпадает с самой точкой. Проецирующая прямая AA′ перпендикулярна π, что и даёт название методу (от греч. ὀρθός — «прямой» и γωνία — «угол»).

Ортогональной проекцией фигуры (отрезка, многоугольника, тела) называют множество проекций всех её точек. Проекция прямой линии, не перпендикулярной плоскости, есть прямая; проекция прямой, перпендикулярной плоскости, вырождается в точку.

¶Свойства

Ортогональное проецирование сохраняет ряд метрических и позиционных соотношений:

• Проекция отрезка равна произведению его длины на косинус угла между отрезком и плоскостью проекции: |A′B′| = |AB|·cos φ.
• Параллельные прямые проецируются в параллельные прямые (либо в точки).
• Отношение отрезков одной прямой сохраняется.
• Прямой угол проецируется без искажения только тогда, когда хотя бы одна из его сторон параллельна плоскости проекции (теорема о проецировании прямого угла).
• Площадь плоской фигуры при ортогональном проецировании умножается на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Эти свойства отличают ортогональную проекцию от косоугольной параллельной и центральной проекций, где метрические искажения описываются иначе.

¶Проекция вектора и скалярное произведение

В векторной алгебре ортогональная проекция вектора a на направление, задаваемое вектором b, — это вектор

proj_b a = (a·b / |b|²) · b,

где a·b — скалярное произведение. Скалярная проекция (компонента) равна a·b / |b|. Если b — единичный вектор, скалярная проекция совпадает со скалярным произведением a·b. Это понятие широко применяется в физике при разложении сил и скоростей на составляющие, а также в методе наименьших квадратов и в задачах аппроксимации.

¶Ортогональные проекции в начертательной геометрии

Метод ортогональных проекций был системно изложен французским учёным Гаспаром Монжем в конце XVIII века и с тех пор составляет основу технического черчения. Суть метода — построение изображения предмета на взаимно перпендикулярных плоскостях проекций.

¶Метод Монжа

В классической схеме используют две или три взаимно перпендикулярные плоскости:

Проекции точки на эти плоскости (фронтальная, горизонтальная, профильная) связаны линиями проекционной связи. Совмещая плоскости развёрткой в одну плоскость чертежа, получают комплексный чертёж (эпюр), по которому однозначно восстанавливается положение объекта в пространстве. Две проекции точки полностью определяют её положение относительно двух плоскостей; третья проекция при этом оказывается избыточной, но используется для проверки и удобства.

¶Аксонометрия

Прямоугольная (ортогональная) аксонометрия — способ наглядного изображения, при котором объект вместе с осями координат ортогонально проецируется на некоторую плоскость. Наибольшее распространение получила прямоугольная изометрия, где коэффициенты искажения по всем трём осям равны (≈0,82, а на практике применяют приведённый коэффициент 1). Такие изображения применяются в технических иллюстрациях, каталогах деталей и строительных чертежах.

¶Применение

Ортогональная проекция используется в самых разных областях:

• Инженерная графика и черчение. Все машиностроительные и строительные чертежи по стандартам выполняются методом прямоугольного проецирования.
• Картография. При составлении карт применяют картографические проекции; ортогональные построения лежат в основе ряда из них и в основе определения координат объектов.
• Физика и механика. Разложение векторов силы, скорости, ускорения на ортогональные составляющие — стандартный приём решения задач.
• Математический анализ и линейная алгебра. Ортогональное проецирование на подпространство, оператор проектирования, ортогонализация Грама — Шмидта.
• Компьютерная графика и САПР. Ортогональные виды (front, top, side) — базовые режимы отображения трёхмерных моделей.
• Статистика. Проекция точки данных на направление главной компоненты в методе главных компонент.

¶Связь с другими видами проекций

Ортогональная проекция — предельный случай параллельной проекции при стремлении угла между проецирующими лучами и плоскостью к прямому. В отличие от центральной (перспективной) проекции, где лучи выходят из одной точки, параллельная проекция сохраняет параллельность прямых, а ортогональная дополнительно не искажает длины отрезков, параллельных плоскости проекции. Именно поэтому ортогональные чертежи удобны для точных измерений, тогда как перспективные изображения применяются там, где важна наглядность, близкая к зрительному восприятию.

¶Обозначения и терминология

В русскоязычной литературе проекцию точки A часто обозначают строчными буквами с индексами (a, a′, a″), соответствующими плоскостям H, V, W. Термин «ортогональная проекция» иногда сокращают до «прямоугольная проекция», что подчёркивает прямой угол между проецирующими лучами и плоскостью. В англоязычной литературе используются термины orthogonal projection и orthographic projection; последний чаще относится к чертёжному методу в целом.

Источники: учебники по начертательной геометрии, курс аналитической геометрии, справочники по инженерной графике, стандарты ЕСКД.