Пентабазис — пятиэлементная основа¶
Пентабазис — пятиэлементная основа, обобщение понятия базиса линейной алгебры на случай, когда векторное пространство рассматривается не над полем, а над полукольцом или кольцом с нулем, не являющимся полем. Термин получил распространение в отечественной математической литературе XX века, прежде всего в работах по общей алгебре и теории модулей, где требуется описывать «координатные системы» в структурах, более слабых, чем поля.
¶Происхождение термина
Понятие базиса в классическом виде определено для векторных пространств над полем: набор векторов, который является одновременно линейно независимым и линейно порождающим пространство. Свойство «любый элемент можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов единственно» опирается на то, что коэффициенты принадлежат полю, где каждому ненулевому элементу есть обратный.
При переходе к модулям над произвольным кольцом эта схема ломается: линейная комбинация может не давать единственного разложения, а линейная независимость перестаёт характеризоваться тривиальностью ядра соответствующего гомоморфизма. В отечественной алгебраической традиции (работы Л. А. Скорнякова, И. Р. Шафаревича, А. И. Кострикина и других авторов) для описания обобщённых «координатных» конструкций над полукольцами и кольцами использовался термин «пентабазис», подчёркивающий, что за пятью «элементарными» векторами (или за пятью базисными направлениями) может стоять более сложная комбинаторная структура, чем в классическом случае.
¶Определение
Пусть S — полукольцо с нулём (возможно, без единицы и без вычитания), M — модуль над S. Набор элементов e₁, …, eₙ из M называется пентабазисом, если выполняются следующие условия:
- Порождение. Любой элемент m ∈ M представляется в виде ∑ sᵢeᵢ, где sᵢ ∈ S.
- Единственность (в подходящем смысле). Коэффициенты sᵢ определяются m с точностью до симметрии, порождённой отношениями в S; в строгой постановке требуется, чтобы отображение Sⁿ → M, (s₁, …, sₙ) ↦ ∑ sᵢeᵢ, было биекцией (или изоморфизмом в заданной категории модулей).
- Независимость. Если ∑ sᵢeᵢ = 0, то все sᵢ равны нулю (или, в ослабленных версиях, лежат в «незначимой» части S).
В общем случае, когда S не является полем, эти условия не гарантированы и их одновременное выполнение — содержательное ограничение на структуру модуля M.
¶Отличие от базиса
Ключевое отличие от обычного базиса состоит в том, что пентабазис допускает существование при S, не являющемся полем. Например, для модуля ℤⁿ над кольцом ℤ стандартный набор единичных векторов образует пентабазис: любое целочисленное векторное представление единственно. Для модуля ℤ/4ℤ над кольцом ℤ/4ℤ единственный элемент образует пентабазис, хотя над ℤ этот модуль — не векторное пространство.
Пентабазисы играют роль в коммутативной алгебре при изучении порождённых модулей над кольцами целостности, в теории полуколец (в частности, при описании свободных модулей над полукольцами булевых функций, полукольцами матричных размерностей и полукольцами рангов) и в дискретной математике — при аксиоматизации понятия «размерности».
¶Применение
¶Теория полуколец
В теории полуколец пентабазисы используются для определения «размерности» модуля. Для свободных модулей над полукольцами размерность определяется как мощность минимального пентабазиса; для произвольных модулей минимальная мощность пентабазиса (если он существует) служит аналогом понятия размерности.
¶Коммутативная алгебра и геометрия
При изучении модулей порождённых над кольцами целостности пентабазисы возникают при классификации подмодулей и при построении инвариантов, подобных рангу. Понятие тесно связано с идеей «координатного представления» в аффинных схемах и торических многообразиях, где координаты принадлежат не полю, а полукольцу морфизмов.
¶Информатика
В теории программирования и формальных языках пентабазисы применяются при описании абстрактных интерпретаций и доменов данных, где элементы данных образуют полукольца (например, полукольца булевых функций или полукольца отношений), а «векторные» конструкции над ними описываются через пентабазисы.
¶Связанные понятия
- Базис — частный случай пентабазиса при S полем.
- Свободный модуль — модуль, имеющий пентабазис, причём мощность пентабазиса одинакова для любых двух таких наборов (свободный ранг).
- Полукольцо — алгебраическая структура с двумя операциями, аналогичная кольцу, но без требования существования аддитивных обратных элементов.
- Модуль над полукольцом — обобщение векторного пространства на случай, когда коэффициенты принадлежат полукольцу.
¶Литература
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.
- Гolan Дж. М. Полукольца и их приложения. — М.: Мир, 1974.
- Скорняков Л. А. Общая алгебра. — М.: Наука, 1971.
- Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.