Перпендикулярность в геометрии¶

Перпендикулярность — бинарное отношение между геометрическими объектами (прямыми, отрезками, плоскостями, векторами), означающее их взаимное расположение под прямым углом, то есть под углом 90 градусов. Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными; отрезки и лучи перпендикулярны, если лежат на перпендикулярных прямых. Обозначение перпендикулярности — знак ⊥, введённый в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном. Перпендикулярность — одно из базовых понятий евклидовой геометрии, лежащее в основе определения прямоугольника, прямоугольного треугольника, ортогональной проекции и декартовой системы координат.

¶Определение и свойства

В планиметрии две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют четыре прямых угла. Эквивалентное определение: прямая a перпендикулярна прямой b, если она пересекает её и образует хотя бы один прямой угол — из равенства смежных и вертикальных углов тогда следует, что прямыми являются все четыре.

Основные свойства:

• Через любую точку плоскости можно провести ровно одну прямую, перпендикулярную данной.
• Если две прямые перпендикулярны третьей, они параллельны между собой.
• Перпендикулярные прямые не могут быть параллельными: они всегда пересекаются в одной точке, называемой основанием перпендикуляра.
• Отношение перпендикулярности симметрично (если a ⊥ b, то b ⊥ a), но не транзитивно.

Отрезок, опущенный из точки на прямую под прямым углом, называется перпендикуляром; его длина — это кратчайшее расстояние от точки до прямой. Наклонная, проведённая из той же точки, всегда длиннее перпендикуляра — это утверждение доказывается через теорему Пифагора и лежит в основе понятия расстояния в геометрии.

¶Перпендикулярность в пространстве

В стереометрии различают несколько случаев:

• Перпендикулярные прямые — прямые, угол между которыми равен 90°; они могут пересекаться или быть скрещивающимися (для скрещивающихся прямых угол определяется через параллельный перенос).
• Прямая, перпендикулярная плоскости — прямая, перпендикулярная каждой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. Признак: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, она перпендикулярна всей плоскости.
• Перпендикулярные плоскости — плоскости, двугранный угол между которыми равен 90°. Признак: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой, и единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

¶Аналитическое описание

В декартовой системе координат условие перпендикулярности выражается через скалярное произведение. Векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0.

Для прямых на плоскости с угловыми коэффициентами k₁ и k₂ условие перпендикулярности имеет вид k₁ · k₂ = −1. Для прямых, заданных уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0, условие записывается как A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

Нормальный вектор плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то есть вектор (A, B, C), перпендикулярен этой плоскости. Именно на этом основано построение ортонормированного базиса и прямоугольной системы координат.

¶Построение и инструменты

Классическое построение перпендикуляра к прямой через заданную точку выполняется циркулем и линейкой. Из точки проводят дугу, пересекающую прямую в двух точках, затем из этих точек строят две равные дуги; их пересечение соединяют с исходной точкой. В черчении и инженерной графике для построения и проверки перпендикуляров применяются угольник, рейсшина, малка, а в строительстве — отвес и лазерный нивелир, задающий вертикаль, перпендикулярную горизонтальной плоскости.

¶Значение и применение

Перпендикулярность — фундамент многих математических и прикладных дисциплин:

• Геометрия и тригонометрия. Определения синуса и косинуса, теорема Пифагора, формулы площадей опираются на прямоугольные треугольники.
• Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Понятия ортогональности, ортонормированного базиса, ортогональной проекции и метода наименьших квадратов.
• Физика. Условия равновесия, разложение векторов на составляющие, электромагнитные волны, в которых векторы напряжённости электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения.
• Техника и строительство. Разметка фундаментов, возведение стен, монтаж конструкций, где требуется строгий прямой угол; допуски на неперпендикулярность нормируются стандартами.
• Компьютерная графика и картография. Построение ортогональных проекций, изометрических и ортогональных видов, развёрток.

В школьном курсе геометрии в России тема перпендикулярности изучается с 7 класса в рамках планиметрии и продолжается в 10–11 классах в стереометрии; соответствующие задачи входят в задания ОГЭ и ЕГЭ.

¶Смежные понятия

С перпендикулярностью тесно связаны ортогональность — обобщение перпендикулярности на произвольные векторные пространства со скалярным произведением, нормаль — вектор или прямая, перпендикулярная поверхности, и медиатриса — прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину. В отличие от параллельности, перпендикулярность не является отношением эквивалентности, поскольку не обладает свойством транзитивности.

Источники: учебники геометрии для средней школы (Атанасян и др., Погорелов), справочники по элементарной математике (Выгодский), энциклопедические словари математических терминов, материалы по инженерной графике.