Пифагоров строй

Пифагоров строй (также пифагорейский строй) — это музыкальный строй, основанный на чистой квинте (интервале с соотношением частот 3:2) и принципе акустической чистоты, впервые теоретически обоснованный в античной Греции школой Пифагора. В отличие от равномерно темперированного строя, где все полутоны равны, пифагорейский строй использует исключительно интервалы, получаемые последовательным умножением или делением частоты на 3/2, что приводит к появлению «пифагорейской коммы» — небольшого несоответствия между двенадцатью квинтами и семью октавами.

История

Античные истоки

Первые письменные свидетельства о пифагорейском строе содержатся в трудах древнегреческих философов и математиков. Согласно легенде, Пифагор Самосский (ок. 570–490 гг. до н. э.) открыл числовые соотношения музыкальных интервалов, экспериментируя с натянутыми струнами монохорда. Он установил, что деление струны в отношении 2:1 даёт октаву, 3:2 — квинту, а 4:3 — кварту. Эти открытия легли в основу учения о гармонии сфер, где музыкальные интервалы связывались с движением небесных тел.

В IV веке до н. э. ученик Пифагора Филолай разработал систему из семи тонов (диатонический звукоряд), а позднее, в трудах Платона и Аристотеля, пифагорейская теория музыки была интегрирована в общую философскую картину мира. Однако практическое применение строя в античной музыке остаётся предметом споров: некоторые исследователи полагают, что греки использовали более сложные системы, включающие энармонические интервалы.

Средневековье и эпоха Возрождения

В средневековой Европе пифагорейский строй стал основой для церковной музыки, особенно в григорианском хорале. Теоретики, такие как Боэций (V–VI века), перевели труды греческих авторов на латынь, закрепив пифагорейскую концепцию в западной музыкальной педагогике. В трактате «Основы музыки» (лат. De institutione musica) Боэций изложил учение о консонансах, основанное на соотношениях 2:1, 3:2 и 4:3.

В эпоху Возрождения, с развитием многоголосия, пифагорейский строй столкнулся с ограничениями: большая терция (интервал с соотношением 81:64) звучала диссонантно по сравнению с натуральной терцией (5:4), что побудило музыкантов искать альтернативы. Тем не менее, вплоть до XVI века пифагорейский строй оставался доминирующим в теоретических трудах, хотя на практике всё чаще применялись различные варианты «чистого» и «среднетонового» строя.

Упадок и возрождение интереса

С распространением равномерной темперации в XVIII–XIX веках (особенно после работ И. С. Баха и его «Хорошо темперированного клавира») пифагорейский строй утратил практическое значение в западной академической музыке. Однако в XX веке интерес к нему возродился в связи с развитием исторически информированного исполнительства (HIP) и изучением аутентичных звуковых систем. В современной музыке пифагорейский строй используется в экспериментальных жанрах, а также в электронной музыке, где компьютерные алгоритмы позволяют точно воспроизводить древние интервалы.

Теоретические основы

Математическая модель

Пифагоров строй строится на последовательности чистых квинт (соотношение 3:2). Если взять за основу частоту тона C (до), то последовательное умножение на 3/2 даёт ноты: G (соль), D (ре), A (ля), E (ми), H (си), F# (фа-диез), C# (до-диез), G# (соль-диез), D# (ре-диез), A# (ля-диез), E# (ми-диез), B# (си-диез). После двенадцати шагов (12 квинт) частота возвращается к исходному тону, но сдвинутому на семь октав. Однако 12 квинт не равны 7 октавам в точности:

\[ (3/2)^{12} \approx 129.746 \quad \text{против} \quad 2^7 = 128 \]

Отношение 129.746 / 128 ≈ 1.0136 называется пифагорейской коммой. Это небольшое (около 23,5 центов) несоответствие означает, что квинтовый круг не замыкается идеально, что приводит к проблемам при модуляции в тональности с большим количеством знаков альтерации.

Интервалы

В пифагорейском строе все интервалы, кроме квинты и октавы, являются производными от квинтовой цепочки. Основные интервалы и их соотношения (в порядке возрастания):

Особенностью строя является то, что большая терция (81:64) на 22 цента шире натуральной терции (5:4), что делает её звучание напряжённым, а малая терция (32:27) — более узкой, чем натуральная (6:5). Эти отклонения придают пифагорейскому строю характерный «средневековый» или «архаичный» оттенок.

Комма и энгармонизм

Пифагорейская комма (около 23,5 центов) — ключевое понятие строя. Она возникает при попытке замкнуть квинтовый круг и приводит к тому, что энгармонически равные ноты (например, C# и Db) в пифагорейском строе звучат по-разному. В равномерной темперации эти ноты совпадают, а в пифагорейском строе разница между ними составляет как раз одну комму. Это свойство ограничивает модуляционные возможности и делает строй непригодным для музыки с частыми сменами тональностей.

Классификация и виды

Диатонический пифагорейский строй

Наиболее распространённая форма — семиступенный диатонический звукоряд, соответствующий белым клавишам фортепиано. Он строится из последовательности квинт: C — G — D — A — E — H — F. В этом ряду отсутствуют альтерированные ноты, что делает его удобным для одноголосной музыки и раннего многоголосия.

Хроматический пифагорейский строй

Двенадцатиступенный строй, включающий все альтерированные ноты. Он получается продолжением квинтовой цепочки до 12 шагов. Из-за коммы последняя нота (B#) не совпадает с исходной (C), что создаёт замкнутый цикл только при условии игнорирования коммы (например, в равномерной темперации).

Пифагорейский строй с «волчьей квинтой»

В практическом использовании, особенно в старинных органах, одну из квинт (обычно G# — D# или A# — F) делали «волчьей» — то есть сильно расстроенной, чтобы остальные квинты оставались чистыми. Эта квинта звучала резко и диссонантно, что ограничивало использование тональностей, в которых она встречалась.

Применение

Историческая музыка

Пифагорейский строй применялся в европейской музыке до XVI века, особенно в церковной. В григорианском хорале и органуме (раннем многоголосии) интервалы квинты и кварты считались консонансами, а терции — диссонансами, что соответствовало пифагорейской теории. С развитием полифонии в эпоху Возрождения строй постепенно вытеснялся чистым строем и среднетоновой темперацией, где терции звучали более благозвучно.

Современная музыка

В XX–XXI веках пифагорейский строй используется в следующих контекстах:

• Исторически информированное исполнительство (HIP): реконструкция звучания средневековых и ренессансных инструментов (органы, клавесины, лютни) с использованием аутентичных строёв.
• Электронная и компьютерная музыка: синтезаторы и программы (например, Pure Data, Max/MSP, Scala) позволяют точно воспроизводить пифагорейские интервалы.
• Экспериментальная музыка: композиторы, такие как Гарри Парч и Ля Монте Янг, использовали микротоновые системы, вдохновлённые пифагорейским строем.
• Народная музыка: в некоторых традициях (например, в балканской и индийской музыке) сохранились элементы, близкие к пифагорейским интервалам.

Образовательные цели

Пифагорейский строй изучается в курсах музыкальной акустики и теории музыки как пример исторической системы настройки. Он помогает понять принципы консонанса и диссонанса, а также эволюцию музыкальных строёв.

Критика и ограничения

Основным недостатком пифагорейского строя является диссонансность больших терций и секст, что делает его непригодным для тональной музыки XVIII–XIX веков, где терции стали основными консонансами. Кроме того, невозможность модуляции в отдалённые тональности без появления «волчьих» интервалов ограничивает композиционные возможности. В равномерной темперации, напротив, все интервалы, кроме октавы, слегка расстроены, но это позволяет свободно модулировать в любую тональность.

Современные критики также отмечают, что пифагорейский строй, будучи математически стройным, не учитывает психоакустические особенности восприятия: человеческое ухо предпочитает натуральные терции (5:4) пифагорейским (81:64), что подтверждается экспериментами в области музыкальной психологии.

Интересные факты

• Пифагорейская комма (23,5 цента) примерно равна разнице между 12 чистыми квинтами и 7 октавами. Если бы не было коммы, квинтовый круг замыкался бы идеально, и равномерная темперация стала бы излишней.
• В древнекитайской музыке существовала аналогичная система настройки, основанная на квинтах (так называемый «люй»), которая, вероятно, развивалась независимо от греческой.
• В пифагорейском строе интервал «тритон» (729:512) составляет 611,73 цента, что значительно шире равномерно темперированного тритона (600 центов). В средние века этот интервал называли «дьяволом в музыке» (лат. diabolus in musica) и избегали в церковной музыке.
• Некоторые исследователи (например, Эрнест Мак-Клейн) предполагают, что пифагорейский строй мог использоваться в античной Греции не только для музыки, но и для настройки лир и кифар, однако археологические находки не подтверждают это однозначно.

Источники

• Боэций, А. М. С. «Основы музыки» (лат. De institutione musica), ок. 500 г. н. э.
• Барбье, П. «История музыкальных строёв», 1953.
• Линдли, М. «Темперация и строй в западной музыке», 2001.
• Хартманн, У. «Пифагорейская теория музыки», 1990.
• Мак-Клейн, Э. «Миф о пифагорейском строе», 1978.