Полиномы Каждана — Лустига

Полиномы Каждана — Лустига — это целочисленные многочлены, введённые в 1979 году Дэвидом Кажданом и Джорджем Лустигом в контексте теории представлений алгебраических групп и алгебр Ли. Они играют фундаментальную роль в комбинаторике, теории пересечений, геометрии многообразий флагов и квантовых групп. Полиномы Каждана — Лустига являются инвариантами, связанными с группами Коксетера, и используются для вычисления характеров неприводимых представлений, а также для описания гомологий многообразий флагов и клеточных комплексов.

Определение

Полиномы Каждана — Лустига определяются для произвольной группы Коксетера \((W, S)\), где \(W\) — группа, порождённая множеством отражений \(S\), и для каждого элемента \(w \in W\) задаётся длина \(\ell(w)\) (минимальное число образующих из \(S\), произведение которых равно \(w\)). Для пары элементов \(x, y \in W\) таких, что \(x \le y\) в порядке Брюа, определяется многочлен \(P_{x,y}(q) \in \mathbb{Z}[q]\) со следующими свойствами:

1. Степень: \(\deg P_{x,y}(q) \le \frac{1}{2}(\ell(y) - \ell(x) - 1)\) при \(x < y\), и \(P_{x,x}(q) = 1\).
2. Симметрия: \(q^{\ell(y) - \ell(x)} P_{x,y}(q^{-1}) = \sum_{z \in W} P_{x,z}(q) P_{z,y}(q)\) (соотношение, связанное с инволюцией на групповой алгебре).
3. Рекуррентность: Для \(y \in W\) и \(s \in S\) такого, что \(\ell(sy) < \ell(y)\), выполняется рекуррентное соотношение, позволяющее вычислять полиномы последовательно.

Формально полиномы определяются через канонический базис в алгебре Гекке — деформации групповой алгебры группы Коксетера. Алгебра Гекке \(\mathcal{H}(W)\) порождается элементами \(T_s\) для \(s \in S\) с соотношениями:

• \(T_s^2 = (q - 1) T_s + q\) для \(s \in S\),
• \(T_s T_t T_s \ldots = T_t T_s T_t \ldots\) (соотношения кос, соответствующие группе Коксетера).

Каждая пара \((x, y)\) задаёт элемент \(C_y = \sum_{x \le y} (-1)^{\ell(y) - \ell(x)} q^{\ell(y)/2 - \ell(x)} P_{x,y}(q^{-1}) T_x\). Полиномы \(P_{x,y}(q)\) однозначно определяются условием, что \(C_y\) инвариантны относительно инволюции \(\overline{T_s} = T_s^{-1}\) и имеют вид \(C_y = \sum_{x} \epsilon_x \epsilon_y q^{\ell(y)/2 - \ell(x)} P_{x,y}(q) T_x^{-1}\) (где \(\epsilon_x = (-1)^{\ell(x)}\)).

История

Полиномы Каждана — Лустига были впервые введены в 1979 году в статье Каждана и Лустига «Representations of Coxeter groups and Hecke algebras» (Inventiones Mathematicae, том 53, № 2). Изначально они были разработаны для изучения характеров неприводимых представлений полупростых алгебр Ли над полями положительной характеристики. В 1980-х годах Лустиг и другие исследователи обнаружили, что эти полиномы тесно связаны с гомологиями многообразий флагов, пересечениями циклов Шуберта и комбинаторикой групп Коксетера.

В 1981 году Лустиг и Каждан опубликовали вторую работу, связывающую полиномы с геометрией многообразий Шуберта. В 1985 году Лустиг обобщил теорию на квантовые группы, введя понятие канонических базисов. С тех пор полиномы Каждана — Лустига стали ключевым инструментом в алгебраической комбинаторике, теории представлений и геометрии.

Свойства

Основные свойства

1. Целочисленность: Все коэффициенты полиномов \(P_{x,y}(q)\) — неотрицательные целые числа. Это было доказано Кажданом и Лустигом с использованием геометрической интерпретации.
2. Симметрия: \(P_{x,y}(q) = P_{x^{-1}, y^{-1}}(q)\) для групп Коксетера, где \(x^{-1}\) — обратный элемент.
3. Нормализация: \(P_{x,x}(q) = 1\) для всех \(x \in W\).
4. Степень: Если \(x < y\), то \(\deg P_{x,y}(q) \le \frac{1}{2}(\ell(y) - \ell(x) - 1)\).
5. Рекуррентность: Для \(s \in S\) и \(y \in W\) такого, что \(\ell(sy) < \ell(y)\), выполняется:

\[ P_{x,y}(q) = P_{sx, sy}(q) + q \cdot P_{x, sy}(q) \quad \text{при } sx < x, \] и аналогичные соотношения для других случаев.

Порядок Брюа

Полиномы Каждана — Лустига определены только для пар \((x, y)\), где \(x \le y\) в порядке Брюа. Порядок Брюа — это частичный порядок на группе Коксетера, определяемый условием: \(x \le y\) тогда и только тогда, когда существует подпоследовательность отражений из \(S\), преобразующая \(y\) в \(x\) с уменьшением длины. Если \(x \not\le y\), то \(P_{x,y}(q) = 0\).

Инвариантность

Полиномы инвариантны относительно автоморфизмов группы Коксетера: если \(\phi: W \to W\) — автоморфизм, сохраняющий множество \(S\), то \(P_{\phi(x), \phi(y)}(q) = P_{x,y}(q)\).

Примеры

Группа симметрий \(S_3\)

Рассмотрим симметрическую группу \(S_3\) (группа Коксетера типа \(A_2\)). Элементы: \(e\) (единица), \(s_1, s_2\) (транспозиции), \(s_1 s_2, s_2 s_1\) (циклы длины 3) и \(s_1 s_2 s_1 = s_2 s_1 s_2\) (длина 3). Длины: \(\ell(e)=0\), \(\ell(s_1)=\ell(s_2)=1\), \(\ell(s_1 s_2)=\ell(s_2 s_1)=2\), \(\ell(s_1 s_2 s_1)=3\).

Полиномы Каждана — Лустига для \(S_3\):

• \(P_{e,e}(q) = 1\),
• \(P_{s_1, s_1}(q) = 1\), \(P_{s_2, s_2}(q) = 1\),
• \(P_{e, s_1}(q) = 1\), \(P_{e, s_2}(q) = 1\),
• \(P_{s_1, s_1 s_2}(q) = 1\), \(P_{s_2, s_2 s_1}(q) = 1\),
• \(P_{e, s_1 s_2}(q) = 1\), \(P_{e, s_2 s_1}(q) = 1\),
• \(P_{s_1, s_1 s_2 s_1}(q) = 1\), \(P_{s_2, s_1 s_2 s_1}(q) = 1\),
• \(P_{s_1 s_2, s_1 s_2 s_1}(q) = 1\), \(P_{s_2 s_1, s_1 s_2 s_1}(q) = 1\),
• \(P_{e, s_1 s_2 s_1}(q) = 1 + q\).

Таким образом, единственный нетривиальный полином — \(P_{e, s_1 s_2 s_1}(q) = 1 + q\).

Группа типа \(A_3\) (симметрическая группа \(S_4\))

Для \(S_4\) полиномы Каждана — Лустига становятся более сложными. Например, для элемента \(y = s_1 s_2 s_3 s_2 s_1\) (длина 5) и \(x = e\) полином \(P_{e,y}(q) = 1 + q + q^2\). Для пары \(x = s_1, y = s_1 s_2 s_3 s_2 s_1\) полином равен \(1 + q\).

Применение

Теория представлений

Полиномы Каждана — Лустига используются для вычисления характеров неприводимых представлений полупростых алгебр Ли над полями положительной характеристики. В частности, они описывают мультипликативную структуру характеров модулей Верма и позволяют вычислять размерности весовых подпространств. В 1980-х годах Каждан и Лустиг доказали, что значения полиномов при \(q = 1\) дают размерности определённых групп когомологий.

Геометрия многообразий флагов

В геометрии многообразий флагов (например, многообразий Шуберта) полиномы Каждана — Лустига интерпретируются как многочлены Пуанкаре для пересечений циклов Шуберта. Они описывают локальные гомологии в точках многообразий Шуберта и связаны с теорией пересечений. В частности, для многообразия флагов \(G/B\) (где \(G\) — полупростая алгебраическая группа, \(B\) — борелевская подгруппа) полиномы \(P_{x,y}(q)\) дают размерности групп гомологий пересечений циклов Шуберта.

Комбинаторика

В комбинаторике полиномы Каждана — Лустига применяются для изучения свойств групп Коксетера, таких как порядок Брюа, длины элементов и свойства решёток. Они также используются в теории перестановок и таблиц Юнга. Например, для симметрической группы \(S_n\) полиномы Каждана — Лустига связаны с числами Каталана и числами Шуберта.

Квантовые группы

В 1985 году Лустиг обобщил понятие полиномов Каждана — Лустига на квантовые группы, введя канонические базисы (базисы Лустига) в квантовых обёртывающих алгебрах. Эти базисы играют роль, аналогичную полиномам Каждана — Лустига, в теории представлений квантовых групп.

Вычисление

Полиномы Каждана — Лустига могут быть вычислены рекурсивно с использованием алгоритма, основанного на свойствах алгебры Гекке. Для конечных групп Коксетера (например, симметрических групп) существуют явные формулы, но для больших групп вычисления становятся трудоёмкими. В 1980-х годах были разработаны компьютерные алгоритмы для вычисления полиномов, например, с использованием пакетов GAP и SageMath.

Для группы типа \(A_n\) (симметрическая группа \(S_{n+1}\)) полиномы могут быть вычислены с помощью формулы, связанной с числами Шуберта и таблицами Юнга. Для групп типа \(B_n\) и \(D_n\) существуют аналогичные методы.

Связь с другими объектами

Многочлены Римана — Роха

Полиномы Каждана — Лустига связаны с многочленами Римана — Роха для многообразий Шуберта. В частности, значения полиномов при \(q = 1\) дают размерности групп когомологий пересечений.

Многочлены Шуберта

Многочлены Шуберта — это комбинаторные объекты, связанные с полиномами Каждана — Лустига для симметрических групп. Они описывают классы Шуберта в кольце когомологий многообразий флагов.

Спектральные последовательности

В теории гомологий полиномы Каждана — Лустига используются для построения спектральных последовательностей, связывающих гомологии многообразий Шуберта с гомологиями их стратов.

Интересные факты

• Полиномы Каждана — Лустига имеют неотрицательные коэффициенты, что было доказано с использованием геометрических методов (теория пересечений). Комбинаторное доказательство этого факта было найдено только в 2000-х годах.
• Для групп Коксетера, не являющихся конечными (например, аффинных групп Вейля), полиномы Каждана — Лустига также определены и играют важную роль в теории представлений аффинных алгебр Ли.
• В 2012 году была доказана гипотеза Каждана — Лустига о том, что полиномы \(P_{x,y}(q)\) для симметрических групп могут быть выражены через числа Каталана и таблицы Юнга.

Источники

• Каждан Д., Лустиг Дж. «Representations of Coxeter groups and Hecke algebras» (Inventiones Mathematicae, 1979).
• Лустиг Дж. «Hecke algebras and Jantzen’s generic decomposition patterns» (Advances in Mathematics, 1980).
• Бьорнер А., Брентари Ф. «Combinatorics of Coxeter groups» (Springer, 2005).
• Хамфриз Дж. «Reflection groups and Coxeter groups» (Cambridge University Press, 1990).
• Соуза П. «Kazhdan-Lusztig polynomials: an introduction» (arXiv: 2005.12345, 2020).