Предел математической последовательности¶

Предел — центральное понятие математического анализа, характеризующее поведение функции или последовательности при стремлении аргумента (или номера члена) к некоторому значению. Понятие предела лежит в основе определений непрерывности, производной и интеграла; строгая формулировка была дана в XIX веке немецкими математиками Карлом Вейерштрассом и Рихардом Дедекиндом.

¶Предел числовой последовательности

Последовательность чисел $a_1, a_2, a_3, \dots$ имеет предел $a$, если для любого положительного числа $\varepsilon$ существует номер $N$, начиная с которого все члены последовательности отстоят от $a$ не более чем на $\varepsilon$: $|a_n - a| < \varepsilon$ при $n > N$. Обозначают это $\lim_{n \to \infty} a_n = a$.

Пример: последовательность $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}, \dots$ имеет предел 0, так как дробь $\frac{1}{n}$ можно сделать сколь угодно малой, увеличив $n$.

¶Предел функции

Предел функции $f(x)$ в точке $x_0$ — это число $A$, к которому значения функции неограниченно приближаются, когда $x$ стремится к $x_0$. Строго: $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что $|f(x) - A| < \varepsilon$ при $0 < |x - x_0| < \delta$.

Различают односторонние пределы (правый и левый) и двусторонний. Двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда существуют и равны оба односторонних.

¶Свойства пределов

• Предел суммы равен сумме пределов: $\lim (f + g) = \lim f + \lim g$.
• Предел произведения равен произведению пределов.
• Предел частного равен частному пределов, если знаменатель не равен нулю.
• Если $f(x) \le g(x)$ в окрестности точки, то $\lim f(x) \le \lim g(x)$.
• Теорема о двух милиционерах («сэндвич»): если $f(x) \le g(x) \le h(x)$ и пределы $f$ и $h$ равны, то предел $g$ существует и равен им же.

¶Существование предела

Не всякая последовательность имеет предел. Последовательность $1, -1, 1, -1, \dots$ не сходится ни к какому числу. Критерий Коши даёт необходимое и достаточное условие сходимости: последовательность сходится тогда и только тогда, когда её члены становятся попарно сколь угодно близкими. Для функций на отрезке непрерывность и ограниченность гарантируют существование предела по теореме Вейерштрасса о непрерывной функции.

¶Бесконечно большие и малые

Если значения функции неограниченно возрастают, говорят, что предел равен $+\infty$ (строго говоря, предел в этом случае не существует, но запись $\lim f(x) = +\infty$ описывает характер роста). Аналогично определяются бесконечно малые — функции, предел которых равен нулю.

¶История

Неформальные представления о пределе восходят к античным математикам: метод исчерпания Архимеда по сути использовал предельные рассуждения. В XVII веке Ньютон и Лейбниц применяли «бесконечно малые» при создании математического анализа, но их строгого обоснования не существовало. В XIX веке Коши, Вейерштрасс и Дедекинд сформулировали предел через $\varepsilon$–$\delta$-определение, устранив нечёткость бесконечно малых. В СССР вклад в теорию пределов и функций внесли математики из школы Егорова и Лузина.

¶Применение

Понятие предела применяется во всех разделах математики и смежных наук: в физике — при описании мгновенных скоростей и плотностей, в экономике — при моделировании предельных издержек, в теории вероятностей — при определении сходимости распределений. Без предельных понятий невозможно строгое определение интеграла Римана и производной.

Источники:

• Кудрявцев Л. Д. «Курс математического анализа»
• Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления»
• Вейерштрасс К. «О непрерывных функциях» (1861)
• Коши О. «Анализ» (1821)