Прямоугольный параллелепипед¶
Прямоугольный параллелепипед — это многогранник, шесть граней которого являются прямоугольниками, а рёбра попарно параллельны и попарно равны. Частный случай параллелепипеда, у которого все двугранные углы прямые; также прямоугольным параллелепипедом называют прямоугольный параллелограммический параллелепипед. В бытовой речи и начальном курсе геометрии это тело часто называют кирпичом или коробкой. Прямоугольный параллелепипед относится к числу простейших объёмных фигур и изучается в школьном курсе стереометрии.
¶Основные свойства
Прямоугольный параллелепипед обладает следующими свойствами:
- Имеет 6 граней, каждая из которых — прямоугольник.
- Имеет 12 рёбер, попарно равных: 4 ребра длины a, 4 ребра длины b, 4 ребра длины c.
- Имеет 8 вершин, в каждой из которых сходятся три ребра, попарно перпендикулярные.
- Все двугранные углы прямые.
- Диагонали параллелепипеда равны между собой и пересекаются в точке пересечения диагоналей оснований, которая является центром симметрии тела.
- Противоположные грани попарно параллельны и равны.
Если три ребра, выходящие из одной вершины, равны между собой, параллелепипед называется кубом. Куб — единственный прямоугольный параллелепипед, являющийся правильным многогранником.
¶Элементы и обозначения
Три ребра, выходящие из одной вершины, называют измерениями или размерами параллелепипеда: длина (a), ширина (b) и высота (c). Все остальные линейные элементы выражаются через эти три величины.
| Элемент | Формула |
|---|---|
| Длина ребра | a, b, c |
| Объём | V = a · b · c |
| Площадь полной поверхности | S = 2(ab + bc + ac) |
| Длина диагонали | d = √(a² + b² + c²) |
| Длина диагонали основания | d₁ = √(a² + b²) |
| Площадь боковой поверхности (при основании ab) | Sбок = 2c(a + b) |
Диагональ параллелепипеда вычисляется по трёхмерному обобщению теоремы Пифагора: она является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат диагональ основания и высота параллелепипеда.
¶Развёртка
Развёртка прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников, сложенных определённым образом. Существует 11 различных по конфигурации развёрток (не считая зеркальных отражений и поворотов). Из любой развёртки можно сложить замкнутый объёмный корпус без разрезов и наложений. Развёртки применяются при изготовлении коробок, упаковки и других изделий из листового материала.
¶Вычисление объёма и площади
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, что справедливо для любого цилиндрического-подобного тела; для прямоугольного параллелепипеда это просто произведение трёх измерений. Площадь поверхности находится суммированием площадей шести граней: каждая из трёх пар равных граней вносит вклад 2ab, 2bc или 2ac.
При решении задач часто используется обратная операция: зная объём и два измерения, третье находителя делением. Если известны объём и площадь поверхности, а также одно из измерений, остальные два определяются как корни квадратного уравнения.
¶Частные случаи и родственные тела
Куб — прямоугольный параллелепипед с a = b = c. Его объём V = a³, площадь поверхности S = 6a², диагональ d = a√3.
Квадратный параллелепипед — параллелепипед, у которого два измерения равны (например, основание — квадрат). Занимает промежуточное положение между произвольным параллелепипедом и кубом.
Прямоугольный параллелепипед является частным случаем:
- параллелепипеда (у которого грани — параллелограммы);
- призмы (у которой основания — параллелограммы);
- цилиндра (как тело, ограниченное тремя парами параллельных плоскостей).
¶Применение
Прямоугольная форма является наиболее распространённой в практике конструирования и упаковки по нескольким причинам: прямоугольные коробки легко штабелируются, эффективно используют пространство, просты в изготовлении из листовых материалов. Примеры:
- строительные кирпичи и блоки;
- контейнеры и транспортная тара;
- помещения и здания (в простейшей модели);
- корпуса приборов и мебель;
- упаковка продуктов и товаров.
В компьютерной графике прямоугольный параллелепипед с рёбрами, параллельными осям координат, называется axis-aligned bounding box (AABB, «ограничивающий параллелепипед») и применяется для ускорения проверки пересечений объектов.
¶Место в курсе геометрии
Прямоугольный параллелепипед изучается в стереометрии на начальном уровне и служит базовой моделью для введения понятий объёма, площади поверхности, пространственных диагоналей и развёрток. Задачи на вычисление элементов параллелепипеда входят в состав ЕГЭ по математике (профильный уровень, раздел «Стереометрия») и олимпиад по математике различного уровня.
¶Интересные факты
- Количество развёрток куба равно 11, и это число является классическим результатом комбинаторной геометрии.
- Прямоугольный параллелепипед с измерениями, пропорциональными 1:2:3, иногда используется как иллюстрация к задачам на нахождение диагонали.
- Наибольший объём прямоугольного параллелепипеда, вписанного в сферу радиуса R, достигается при кубе и равен 8R³/√3.
¶Источники
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 7–11 классы. — М.: Просвещение.
- Погорелов А. В. Геометрия. 7–11 классы. — М.: Просвещение.
- Справочник по элементарной математике. — М.: Наука.
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Высшая школа (справочные сведения по геометрическим телам).