Серединное значение в статистике¶

Серединное значение (медиана) — один из основных показателей центральной тенденции в математической статистике, характеризующий типичный уровень признака в выборке или генеральной совокупности. Термин «медиана» происходит от латинского medianus — «средний, находящийся посередине». В англоязычной традиции используется термин «median», в разговорной речи и учебной литературе по-русски встречается также выражение «серединное значение».

¶Определение и сущность

Медиана — это значение признака, которое делит упорядоченный по возрастанию ряд наблюдений на две равные (или почти равные) части. Если наблюдений нечётное число, медиана совпадает с одним из наблюдений — тем, которое стоит ровно посередине отсортированного ряда. Если наблюдений чётное число, медианой считается среднее арифметическое двух центральных значений.

Формально медиана $M_e$ — это значение, для которого доля наблюдений, меньших или равных ему, и доля наблюдений, больших или равных ему, составляют не менее 50 %.

¶Свойства медианы

• Робастность. Медиана устойчива к выбросам и аномальным значениям. Одиночное экстремальное наблюдение смещает среднее арифметическое, но практически не влияет на медиану. По этой причине медиана предпочтительнее среднего при наличии «тяжёлых хвостов» в распределении.
• Одинаковая весомость. Медиана не учитывает величину отклонений — важен только порядок значений, а не их расстояния друг от друга.
• Независимость от монотонных преобразований. Если все значения заменить на монотонно возрастающую функцию от них (например, возведение в квадрат при положительных значениях), медиана преобразуется тем же способом.
• Минимизация суммы абсолютных отклонлений. Медиана — это то значение $x$, при котором сумма модулей отклонлений $\sum |x_i - x|$ минимальна. Для среднего арифметического минимизируется сумма квадратов отклонлений.

¶Медиана и среднее арифметическое

Выбор между медианой и средним арифметическим зависит от задачи и характера данных:

Для симметричного распределения медиана и среднее арифметическое совпадают. Для правосторонне асимметричного распределения (например, распределения доходов) медиана, как правило, меньше среднего арифметического, поскольку среднее притягивается вправо крупными значениями.

¶Медиана и нормальное распределение

В нормальном (гауссовом) распределении медиана, среднее арифметическое и мода совпадают. Это одно из определяющих свойств симметричного нормального распределения. В реальных данных, отклоняющихся от нормальности, три меры центральной тенденции расходятся, и выбор между ними становится содержательным решением.

¶Медиана в теории вероятностей

Для случайной величины $X$ медиана — это значение $m$, такое, что $\mathrm{P}(X \le m) \ge 0{,}5$ и $\mathrm{P}(X \ge m) \ge 0{,}5$. В отличие от математического ожидания, медиана существует для любых распределений, даже таких, у которых математическое ожидание не определено (например, для распределения Коши).

¶Квартили и размах

Медиана является вторым квартилем ($Q_2$) в системе квартилей распределения. Первый квартиль ($Q_1$) делит нижнюю половину данных пополам, третий ($Q_3$) — верхнюю. Разница $Q_3 - Q_1$ называется межквартильным размахом и служит мерой разброса, устойчивой к выбросам. Полный размах (разность максимального и минимального наблюдений) и межквартильный размах в совокупности с медианой дают компактное описание распределения.

¶Выборка и оценка

В выборочных данных медиана вычисляется непосредственно после сортировки. Она является состоятельной и асимптотически несмещённой оценкой генеральной медианы. Асимптотическая дисперсия выборочной медианы для непрерывного распределения с плотностью $f$ в точке медианы равна $\frac{1}{4f(m)^2}$ при умножении на $\frac{1}{n}$. Для нормального распределения эта дисперсия примерно в 1,57 раза больше дисперсии выборочного среднего, что отражает цену устойчивости к выбросам.

¶Применение

Медиана широко используется в описательной статистике, экономике и социологии. Медианный доход — стандартный показатель благосостояния населения, применяемый вместо среднего дохода, искажаемого крупными заработками一小撮 высокодоходных групп. В биометрии и медицине медиана времени выживания — основной итог клинических исследований. В машиностроении и метрологии медиана применяется при обработке результатов измерений с грубыми ошибками.

В информатике медиана входит в стандарт библиотек статистических вычислений: функция median() доступна в NumPy, R, MATLAB и других средах.

¶История

Понятие медианы введено в статистику в XIX веке. Термин «медиана» для обозначения центрального значения ряда наблюдений закрепился в работах английских статистиков. В теории устойчивой статистики XX века медиана получила развитие как базовый робастный оценщик, исследованный в трудах Хэмпеля, Хубера и других авторов.

¶Источники

• Коберн В. Ю., Чистяков В. А. Математическая статистика
• Болшев Л. Н., Смирнов Н. С. Таблицы математической статистики
• Крамер Х. Математические методы статистики
• Хубер П. Робастная статистика
• Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика