Шестиугольник в геометрии и природе¶

Шестиугольник (гексагон) — плоская геометрическая фигура, многоугольник с шестью сторонами и шестью вершинами. Относится к классу простых многоугольников; в зависимости от соотношения сторон и углов различают правильные и неправильные шестиугольники. Правильный шестиугольник — один из немногих многоугольников, способных замощать плоскость без зазоров и перекрытий, что обусловило его широкое распространение в природе, технике и архитектуре.

¶Основные свойства

Сумма внутренних углов любого простого шестиугольника равна 720°. У правильного (выпуклого равностороннего) шестиугольника все стороны равны, а каждый внутренний угол составляет 120°. Такой многоугольник обладает центральной и осевой симметрией, а также поворотной симметрией шестого порядка.

Ключевые характеристики правильного шестиугольника со стороной a:

Примечательное свойство: у правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной вокруг него окружности. Это делает построение фигуры циркулем и линейкой особенно простым — достаточно откладывать на окружности хорды, равные её радиусу.

¶Классификация

Шестиугольники делят по нескольким признакам:

• По правильности: правильные (равные стороны и углы) и неправильные.
• По выпуклости: выпуклые (все внутренние углы меньше 180°) и невыпуклые (вогнутые).
• По симметрии: с осевой, центральной или поворотной симметрией; существуют также асимметричные гексагоны.

Правильный шестиугольник относится к правильным многоугольникам наряду с треугольником, квадратом, пятиугольником и другими.

¶Замощение плоскости

Плоскость можно замостить правильными шестиугольниками без промежутков — это одна из трёх правильных мозаик наряду с треугольной и квадратной. Именно поэтому гексагональная упаковка является наиболее плотной при укладке одинаковых кругов на плоскости: каждый круг касается шести соседних. Данное свойство лежит в основе гексагональной плотнейшей упаковки в кристаллографии.

¶В природе

Гексагональная форма широко встречается в живой и неживой природе:

• Пчелиные соты — классический пример естественного шестиугольного замощения. Пчёлы строят восковые ячейки шестиугольной формы, что позволяет при минимальном расходе воска вмещать максимальный объём мёда.
• Базальтовые столбы («Мостовая гигантов» в Северной Ирландии, мыс Столбчатый на Курильских островах) — результат растрескивания остывающей лавы, образующей шестиугольные призмы.
• Снежинки — кристаллы льда, обладающие гексагональной симметрией благодаря строению кристаллической решётки воды.
• Глаз насекомых — фасеточные глаза состоят из множества шестиугольных омматидиев.
• Молекулярные структуры — бензольное кольцо и графен имеют гексагональную атомную решётку.

¶Применение

Благодаря своим геометрическим свойствам шестиугольник находит применение в различных областях:

• Техника и крепёж: шестигранные гайки и болты удобны для захвата ключом и позволяют передавать большое усилие.
• Архитектура и строительство: шестиугольные плитки, черепица, элементы мощения; гексагональные конструкции применяются в куполах и пространственных решётках.
• Игры и картография: в настольных и компьютерных стратегиях часто используется гексагональная сетка («гекс-карта»), обеспечивающая шесть направлений движения и равное расстояние до соседних клеток.
• Химия и материаловедение: углеродные нанотрубки, фуллерены, графен построены на гексагональных мотивах.
• Оптика: световозвращающие катафоты и некоторые линзы используют гексагональную упаковку элементов.

¶Исторические сведения

Изучение правильных многоугольников восходит к античности. Пифагорейцы рассматривали правильные фигуры как символ гармонии; шестиугольник связывали с числом шесть. Евклид в «Началах» (около III века до н. э.) описал построение правильного шестиугольника циркулем и линейкой и доказал его свойства. Архимед исследовал замощения плоскости. Позднее, в эпоху Возрождения и Нового времени, гексагональные структуры привлекли внимание в связи с изучением кристаллов и пчелиных сот; Иоганн Кеплер в трактате «О шестиугольных снежинках» (1611) одним из первых попытался объяснить их форму геометрически.

¶Интересные факты

• Правильный шестиугольник — единственный правильный многоугольник, у которого сторона равна радиусу описанной окружности (помимо вырожденного случая).
• Из всех правильных многоугольников именно шестиугольник даёт наиболее экономное замощение по соотношению периметра ячейки к её площади, что и объясняет форму сот.
• На флагах и гербах ряда стран и регионов изображены шестиугольные элементы; гексагон нередко используется как символ стабильности и структуры.
• В шахматах на гексагональной доске (вариант «Гексагональные шахматы») существует три цвета клеток вместо двух.

¶Критика терминологии

В обиходе словом «шестиугольник» иногда ошибочно называют любую фигуру с шестью углами, включая невыпуклые и самопересекающиеся (например, гексаграмму — звезду Давида). Строго в геометрии гексаграмма является не шестиугольником, а звёздчатым многоугольником, составленным из двух треугольников.

Источники: учебники по элементарной геометрии; «Начала» Евклида; труды по кристаллографии и минералогии; материалы по гексагональным упаковкам и замощениям плоскости.