Симметрия: понятие, виды, проявление¶

Симметрия (от греч. συμμετρία — «соразмерность», «пропорциональность») — свойство объекта, при котором он остаётся неизменным (или преобразуется определённым образом) под действием некоторого набора преобразований. В широком смысле симметрия означает наличие в объекте элементов, повторяющихся, зеркально отражённых или повёрнутых относительно оси, центра или плоскости. Понятие симметрии применяется в математике, физике, биологии, химии, искусстве, архитектуре и психологии восприятия.

¶История понятия

Представления о симметрии возникли в древности. Древнегреческие архитекторы строили храмы с зеркальной симметрией фасадов; Пифагорейцы изучали симметрию правильных многогранников. В античной математике симметрия связывалась с гармонией и числом.

В XVII–XVIII веках симметрия стала объектом строгого математического изучения. Исаак Ньютон и Леонард Эйлер заложили основы теории преобразований. В XIX веке Эварист Галуа создал теорию групп, которая стала формальным языком описания симметрии. В 1890-е годы Феликс Клейн в «Эрлангенской программе» предложил классифицировать геометрии по группам симметрии их фигур.

В XX веке понятие симметрии стало центральным в физике. Эмми Нётер доказала в 1918 году теорему, связывающую симметрии законов сохранения физических величин. Развитие теории элементарных частиц, кристаллографии и биологии молекул привело к появлению понятий точечных, трансляционных, спинорных и калибровочных симметрий.

¶Виды симметрии

¶Геометрическая симметрия

• Зеркальная (осевая) — симметрия относительно плоскости или прямой: одна половина объекта является зеркальным отражением другой. Пример — бабочка.
• Вращательная (поворотная) — объект совпадает с собой после поворота на определённый угол. Круг симметричен при любом повороте, шестерёнка — при повороте на 60°.
• Центральная (инверсионная) — совпадение при отражении относительно точки.
• Спиральная (винтовая) — комбинация поворота и сдвига вдоль оси; характерна для раковин, винтовых лестниц, кристаллов.
• Трансляционная — повторение элемента через равные расстояния; проявляется в узорах, решётках, кристаллических структурах.

¶Математическая симметрия

В теории групп симметрия объекта — это множество всех преобразований, при которых объект не меняется. Эти преобразования образуют группу. Для правильного многоугольника симметрическая группа включает повороты и зеркальные отражения. В двумерном плоском узоре возможны 17 групп симметрии (плоскостные группы), в трёхмерном кристалле — 230 пространственных групп.

¶Симметрия в физике

Физические законы обладают рядом фундаментальных симметрий:

• Пространственно-временная симметрия — однородность пространства и изотропность пространства приводят к сохранению импульса и момента инерции; однородность времени — к сохранению энергии (теорема Нётер).
• Калибровочная (локальная) симметрия — локальные преобразования, требующие введения взаимодействий; электромагнетизм описывается унитарной симметрией U(1), сильные взаимодействия — SU(3).
• Зарядовая симметрия — преобразования, меняющие заряды частиц.
• Симметрия пространственного обращения (CP-симметрия) — одновременное зеркальное отражение и замена частиц античастицами. Известно, что CP нарушается в слабых взаимодействиях (открытие Кронина и Фитча, 1964).

¶Симметрия в биологии и химии

Живые организмы демонстрируют несколько типов симметрии:

• Радиальная (лучевая) — тело устроено по принципу колеса; характерна для медуз, морских звёзд, цветков.
• Билатеральная (двусторонняя) — наличие единственной плоскости симметрии, делящей тело на зеркальные половины; типична для большинства животных, включая человека.
• Спиральная — характерна для моллюсков, виноградных лоз.

В химии симметрия молекул описывается группами симметрии (например, группы Т_d, О_h, D_∞h). Симметрия молекулы определяет её спектральные свойства, полярность и реакционную способность. Кристаллографические группы симметрии описывают упорядоченное строение твёрдых тел.

¶Симметрия в искусстве и архитектуре

Симметрия — один из основных принципов композиции. Здания Московского Кремля, Эрмитажа, храм Василия Блаженного (внутренняя планировка) демонстрируют сложные приёмы симметрии и её нарушения. В декоративно-прикладном искусстве симметрия лежит в основе орнаментов: ковровых, майоликовых, резных.

¶Нарушение симметрии

Полная симметрия в природе встречается редко. Нарушение симметрии (асимметрия) играет важную роль:

• В физике — нарушение CP-симметрии объясняет преобладание материи над антиматерией в наблюдаемой Вселенной (бариогенез).
• В биологии — асимметрия внутренних органов человека (сердце слева, печень справа).
• В искусстве — намеренное нарушение симметрии создаёт динамику композиции.

¶Интересные факты

• Число 17 — число плоскостных групп симметрии; оно было доказано в 1891 году Фёдором Лебедевым, Певе, Гарнье и Реньо независимо друг от друга.
• Кристаллографическое ограничение запрещает вращательную симметию с осями 5-го порядка в периодических кристаллах, однако в 1982 году Дэном Шехтманом открыты квазикристаллы с пятикратной симметрией (Нобелевская премия по химии, 2011).
• Эмиль Леман показал, что зеркальная симметрия — единственный вид симметрии, при которой объект может быть разделён на две зеркальные половины.

¶Источники

• Вейль, Г. Симметрия. — М.: НИЯУ МИФИ, 2018.
• Шубников, А. В., Копцик, В. А. Симметрия в науке и искуске. — М.: Наука, 1972.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика.
• Нётер, Э. Invariante Variationsprobleme. — Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1918.
• Клейн, Ф. Эрлангенская программа. — М.: ЛКИ, 2008.