Скорость молекул и её распределение¶
Скорость молекул — физическая величина, характеризующая быстроту теплового движения частиц вещества. В молекулярно-кинетической теории под скоростью молекулы понимают модуль вектора скорости её поступательного движения, который непрерывно изменяется при столкновениях с другими молекулами. Поскольку молекулы газа движутся хаотически, их скорости в любой момент распределены по определённому закону, описываемому статистически.
¶Основные характеристики
Из-за огромного числа молекул и случайного характера их движения говорить о скорости отдельной молекулы в данный момент практически бессмысленно. Вместо этого рассматривают распределение молекул по скоростям и связанные с ним средние величины.
Ключевые характеристики:
- Средняя квадратичная скорость — корень из среднего квадрата скорости; определяет среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы.
- Средняя арифметическая скорость — среднее значение модуля скорости всех молекул.
- Наиболее вероятная скорость — скорость, которой соответствует максимум функции распределения.
Все три величины связаны между собой постоянными множителями и пропорциональны квадратному корню из абсолютной температуры и обратному корню из массы молекулы.
¶Распределение Максвелла
В 1860 году Джеймс Клерк Максвелл теоретически вывел закон распределения молекул идеального газа по скоростям. Функция распределения f(v) задаёт долю молекул, скорости которых лежат в единичном интервале вблизи значения v. График функции имеет характерный вид кривой с максимумом, асимметричной относительно него: с ростом скорости число молекул сначала быстро растёт, достигает максимума, а затем медленно убывает, асимптотически приближаясь к нулю.
Свойства распределения:
- при повышении температуры максимум смещается в сторону больших скоростей, а сама кривая становится более пологой;
- при понижении температуры максимум смещается к меньшим скоростям, кривая становится выше и уже;
- площадь под кривой всегда остаётся постоянной, поскольку она равна полному числу молекул.
Распределение Максвелла подтверждено экспериментально, в частности опытами Отто Штерна (1920) и опытами с молекулярными пучками.
¶Формулы для скоростей
Для идеального газа справедливы следующие выражения, где k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура, m — масса одной молекулы, M — молярная масса, R — универсальная газовая постоянная:
| Величина | Формула |
|---|---|
| Наиболее вероятная скорость | v_в = √(2kT/m) = √(2RT/M) |
| Средняя арифметическая скорость | ⟨v⟩ = √(8kT/(πm)) = √(8RT/(πM)) |
| Средняя квадратичная скорость | v_кв = √(3kT/m) = √(3RT/M) |
Соотношение между ними: v_в < ⟨v⟩ < v_кв, причём численно v_в ≈ 0,82 v_кв, а ⟨v⟩ ≈ 0,92 v_кв.
¶Численные оценки
Для лёгких газов скорости молекул при комнатной температуре велики. Например, средняя квадратичная скорость молекул водорода при 20 °C составляет около 1900 м/с, гелия — около 1300 м/с, азота — около 500 м/с, кислорода — около 470 м/с. Для тяжёлых молекул, например паров иода, скорости заметно ниже.
Скорости молекул в газах сравнимы со скоростью звука в той же среде, что не случайно: скорость распространения звука определяется тепловым движением молекул.
¶Длина свободного пробега
Несмотря на большие скорости, молекулы газа распространяются медленно. Это объясняется частыми столкновениями: средняя длина свободного пробега при нормальных условиях составляет порядка 10⁻⁷ м, а число столкновений одной молекулы — миллиарды в секунду. Именно поэтому, например, запах вещества распространяется в воздухе значительно медленнее, чем движутся отдельные молекулы.
¶Зависимость от температуры и массы
Из формул следует, что скорость молекул:
- растёт пропорционально квадратному корню из температуры — чтобы увеличить скорость вдвое, температуру нужно повысить вчетверо;
- убывает с ростом молярной массы — более тяжёлые молекулы при той же температуре движутся медленнее.
Эта зависимость лежит в основе явления диффузии, теплопроводности и вязкости газов, а также объясняет, почему лёгкие газы (водород, гелий) удерживаются атмосферой планет хуже тяжёлых.
¶Значение
Понятие скорости молекул и распределение Максвелла — фундамент молекулярно-кинетической теории. Они позволяют вычислять среднюю энергию частиц, теплоёмкость газов, коэффициенты переноса, объяснять броуновское движение и процессы испарения. Распределение Максвелла стало первым статистическим законом в физике, заложившим основы статистической механики, развитой Людвигом Больцманом.
Источники: учебники по общей физике (И. В. Савельев, Д. В. Сивухин), курсы молекулярной физики, классические работы Дж. К. Максвелла и Л. Больцмана.