Открыть сервис
Главная → Блог → Случайное число в математике и технике

Случайное число в математике и технике

Случайное число — это число, полученное в результате процесса, исход которого невозможно предсказать заранее с полной определённостью. В математике и прикладных дисциплинах различают собственно случайные величины и их реализации, а также псевдослучайные последовательности, генерируемые детерминированными алгоритмами. Понятие занимает центральное место в теории вероятностей, статистике, криптографии, компьютерном моделировании и азартных играх.

Основные понятия

Строго говоря, отдельное число не является «случайным» само по себе — случайным является механизм его получения. В теории вероятностей используют понятие случайной величины — функции, ставящей в соответствие каждому исходу испытания число. Реализация этой величины в конкретном испытании и есть наблюдаемое случайное число.

Ключевые характеристики:

  • Равномерность распределения — все значения в заданном диапазоне равновероятны.
  • Независимость — знание предыдущих значений не даёт информации о следующем.
  • Непредсказуемость — отсутствие закономерности, позволяющей предсказать результат.

История

Простейшие устройства для получения случайных чисел — игральные кости — известны с глубокой древности; их находили в египетских гробницах, датируемых примерно 2000 годом до н. э. В Древней Греции и Риме применялись астрагалы и жребии. В XVII веке Блез Паскаль и Пьер Ферма заложили основы теории вероятностей, изучая задачи, связанные с азартными играми. В XX веке развитие вычислительной техники потребовало массового производства случайных чисел, что привело к появлению таблиц случайных чисел и первых генераторов.

Способы получения

Физические (аппаратные) генераторы

Истинно случайные числа получают из непредсказуемых физических процессов:

  • бросание кости или монеты;
  • извлечение шаров из урны;
  • шум электронных компонентов (тепловой шум, дробовой шум);
  • радиоактивный распад;
  • атмосферные явления.

Такие источники называют генераторами истинно случайных чисел (TRNG). Их недостаток — низкая скорость и сложность интеграции в цифровые системы.

Таблицы случайных чисел

До распространения компьютеров применялись печатные таблицы, составленные из результатов физических экспериментов. Одна из первых крупных таблиц была опубликована в 1927 году Леонардом Типпеттом. Позднее, в 1955 году, корпорация RAND выпустила сборник «A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates».

Псевдослучайные генераторы

Программные генераторы (PRNG) вычисляют последовательность по детерминированной формуле, исходя из начального значения — зерна (seed). При одинаковом зерне последовательность воспроизводится. Распространённые алгоритмы:

Псевдослучайные числа статистически неотличимы от истинно случайных при незнании алгоритма и зерна, но принципиально предсказуемы.

Криптографически стойкие генераторы

Для задач защиты информации применяются генераторы (CSPRNG), результаты которых вычислительно неотличимы от случайных даже при знании алгоритма. Они используются при генерации ключей шифрования, паролей и криптографических протоколов.

Применение

Псевдослучайные числа в России

В СССР и России вопросы генерации случайных чисел разрабатывались в рамках вычислительной математики и криптографии. В Институте прикладной математики АН СССР велись работы по методам Монте-Карло. В 1990-е и 2000-е годы российские стандарты криптографической защиты, в частности ГОСТ Р 34.10 и связанные с ним документы, регламентируют требования к генераторам случайных последовательностей для формирования ключей. Национальный стандарт ГОСТ Р 52633 описывает методы оценки качества генераторов.

Проверка качества

Для оценки последовательностей применяют статистические тесты:

  • частотный тест (проверка равномерности);
  • тест серий;
  • тест на автокорреляцию;
  • тест «хи-квадрат»;
  • наборы NIST SP 800-22, Diehard, TestU01.

Ни один набор тестов не доказывает истинную случайность — он лишь выявляет отклонения от ожидаемых свойств.

Парадоксы и заблуждения

Распространено ошибочное представление, будто после серии одинаковых исходов вероятность противоположного возрастает («ошибка игрока»). В действительности при независимых испытаниях вероятность каждого исхода остаётся неизменной. Другой парадокс — «иллюзия кластеризации»: люди склонны считать случайными последовательности без повторов, тогда как реальные случайные последовательности часто содержат длинные серии одинаковых значений.

Интересные факты

  • В 2018 году в рамках проекта Random.org, использующего атмосферный шум, были сгенерированы миллиарды случайных бит для научных и коммерческих задач.
  • Число π иногда используют как источник псевдослучайных цифр, однако его статистические свойства как генератора остаются предметом дискуссий.
  • В лотереях многих стран применяются механические лототроны, поскольку они обеспечивают физическую случайность и прозрачность.

Источники: Кнут Д. «Искусственный интеллект и программирование»; учебники по теории вероятностей Гнеденко Б. В., Вентцель Е. С.; документация NIST SP 800-22; материалы RAND Corporation; ГОСТ Р 52633.

Похожие материалы