Совершенные числа в математике¶

Совершенное число — это натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей, то есть всех положительных делителей, меньших самого числа. Например, число 6 делится на 1, 2 и 3, а их сумма равна 6. Совершенные числа относятся к классическим объектам теории чисел и изучаются со времён античности. Вопрос о их бесконечности и о существовании нечётных совершенных чисел остаётся открытым.

¶Определение и примеры

Формально число \( n \) называется совершенным, если выполнено равенство

\[ \sigma(n) = 2n, \]

где \( \sigma(n) \) — сумма всех положительных делителей числа \( n \). Эквивалентная формулировка: сумма собственных делителей равна самому числу.

Первые совершенные числа:

Числа, у которых сумма собственных делителей меньше самого числа, называются недостаточными (например, все простые числа), а больше — избыточными (например, 12).

¶История изучения

Понятие совершенного числа восходит к пифагорейской школе (VI век до н. э.), придававшей числам мистическое значение. Евклид в «Началах» (около 300 года до н. э.) доказал, что если число \( 2^p - 1 \) простое, то число

\[ 2^{p-1}(2^p - 1) \]

является совершенным. Такие числа оказались чётными.

Древнегреческий математик Никомах Герасский в «Введении в арифметику» (около 100 года н. э.) перечислил первые четыре совершенных числа: 6, 28, 496, 8128. Следующее, 33 550 336, было найдено лишь в XV веке, а ещё два — в XVI–XVIII веках.

Существенный вклад внёс Леонард Эйлер: в XVIII веке он доказал, что любое чётное совершенное число имеет именно евклидову форму \( 2^{p-1}(2^p - 1) \), где \( 2^p - 1 \) — простое число. Тем самым была установлена взаимно однозначная связь между чётными совершенными числами и простыми числами Мерсенна.

¶Связь с простыми числами Мерсенна

Простое число вида \( M_p = 2^p - 1 \) называется числом Мерсенна (по имени французского монаха Марена Мерсенна, изучавшего такие числа в XVII веке). Теорема Евклида — Эйлера утверждает: чётное число совершенно тогда и только тогда, когда оно представимо в виде \( 2^{p-1}(2^p - 1) \), где \( 2^p - 1 \) — простое.

Отсюда следует, что поиск чётных совершенных чисел сводится к поиску простых чисел Мерсенна. Показатель \( p \) при этом обязан быть простым, однако простота \( p \) не гарантирует простоты \( 2^p - 1 \): например, при \( p = 11 \) получается составное число 2047 = 23 × 89.

¶Нечётные совершенные числа

Существование нечётного совершенного числа не доказано и не опровергнуто — это одна из открытых проблем теории чисел. Если такое число существует, оно должно удовлетворять ряду жёстких условий, полученных в XX–XXI веках:

• быть больше \( 10^{1500} \);
• иметь не менее 101 простого делителя (с учётом кратности);
• иметь хотя бы 10 различных простых делителей;
• быть полным квадратом, умноженным на простое число, и др.

Проверки на компьютерах не выявили ни одного нечётного совершенного числа вплоть до очень больших границ, что делает его существование маловероятным, но строгого доказательства нет.

¶Классификация и родственные понятия

Помимо совершенных, рассматривают:

• Дружественные числа — пары чисел, каждое из которых равно сумме собственных делителей другого (например, 220 и 284).
• Общественные числа — циклы из трёх и более чисел с аналогичным свойством.
• Слегка недостаточные и слегка избыточные числа — числа, у которых сумма собственных делителей отличается от самого числа на единицу.
• Совершенные числа в других системах — обобщения в кольцах и полугруппах, а также мультисовершенные числа, где сумма делителей кратна числу.

¶Вычислительные рекорды

Поиск совершенных чисел тесно связан с проектом GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), в котором добровольцы предоставляют вычислительные ресурсы для поиска простых чисел Мерсенна. По состоянию на 2020-е годы известно более 50 совершенных чисел; все они чётные и имеют вид \( 2^{p-1}(2^p - 1) \). Крупнейшие из них содержат десятки миллионов десятичных цифр. Каждому новому простому числу Мерсенна соответствует новое совершенное число.

¶Значение и применение

Совершенные числа не имеют прямого прикладного применения в инженерии или естественных науках. Их значение лежит в области чистой математики: они служат источником задач о простых числах Мерсенна, о распределении делителей и о границах вычислимости. Кроме того, совершенные числа исторически стимулировали развитие теории делимости, модулярной арифметики и алгоритмов проверки простоты, включая тест Люка — Лемера, применяемый для проверки простоты чисел Мерсенна.

В культуре совершенные числа иногда наделялись символическим смыслом: 6 и 28 упоминаются в религиозных и философских текстах как примеры гармонии. Современная наука рассматривает такие трактовки как историко-культурный курьёз, а не как математический факт.

Источники: «Начала» Евклида; «Введение в арифметику» Никомаха Герасского; работы Л. Эйлера по теории чисел; материалы проекта GIMPS; обзорные статьи по теории чисел и проблеме нечётных совершенных чисел.