Сумма пределов¶

Сумма пределов — это правило вычисления пределов суммы последовательностей, согласно которому предел суммы двух (или более) функций равен сумме их пределов, если каждый из пределов существует и конечен. Правило является одним из базовых свойств пределов и применяется при решении задач математического анализа, вычислительной математики и теории вероятностей.

¶Формулировка правила

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ определены в проколотой окрестности точки $a$ (или при $x \to \infty$), и существуют конечные пределы:

$$\lim_{x \to a} f(x) = A, \quad \lim_{x \to a} g(x) = B.$$

Тогда предел суммы функций существует и равен сумме пределов:

$$\lim_{x \to a} \left[ f(x) + g(x) \right] = A + B = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x).$$

Правило распространяется на произвольное конечное число слагаемых и на разность: $\lim [f(x) - g(x)] = A - B$. Для произведения и частного действуют аналогичные правила: $\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$ и $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$ при $B \neq 0$.

¶Условия применимости

Ключевое условие — существование конечных пределов каждого слагаемого. Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, правило неприменимо, и предел суммы нужно вычислять иными методами.

Классический контрпример: при $x \to \infty$ функция $f(x) = x$ и $g(x) = -x$ не имеют конечных пределов, но их сумма $f(x) + g(x) = 0$ имеет предел, равный нулю. Другой пример: $\lim_{x \to \infty} (x^2 - x^2) = 0$, хотя оба слагаемых стремятся к $+\infty$.

Важный частный случай — неопределённости вида $\infty - \infty$: правило суммы пределов неприменимо, и выражение требует преобразований (вынесения общего множителя, рационализации, применения формулы Лопиталя и др.).

¶Доказательство

Правило следует непосредственно из определения предела через $\varepsilon$-$\delta$ и свойств модуля. Для любого $\varepsilon > 0$ существуют $\delta_1, \delta_2 > 0$ такие, что при $0 < |x - a| < \delta_1$ выполняется $|f(x) - A| < \varepsilon/2$, а при $0 < |x - a| < \delta_2$ — $|g(x) - B| < \varepsilon/2$. Положив $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$, получаем при $0 < |x - a| < \delta$:

$$|(f(x) + g(x)) - (A + B)| \leq |f(x) - A| + |g(x) - B| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

Что и требовалось доказать. Аналогично обосновывается правило для разности и для произвольного конечного числа слагаемых (по индукции).

¶Применение

Правило суммы пределов активно используется при вычислении пределов рациональных функций, тригонометрических и показательных выражений, при разложении функций в ряды Тейлора и при решении задач на непрерывность функций. В математическом анализе оно входит в набор свойств, из которых выводятся все остальные правила вычисления пределов.

В теории вероятностей правило применяется при вычислении математических ожиданий суммы случайных величин: $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$, что является прямым следствием свойства линейности математического ожидания и по существу представляет собой сумму пределов при переходе к математическому ожиданию.

В вычислительной математике правило суммы пределов лежит в основе оценки погрешности при суммировании численных результатов: если каждое слагаемое вычислено с определённой точностью, то точность суммы оценивается через точности слагаемых.

¶Смежные правила

Все перечисленные правила имеют аналоги для пределов последовательностей и для односторонних пределов.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Юрайт.
• Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа. — М.: Наука.
• Ильин В. А., Садовничий В. А., Соболевский А. Д. Лекции по математическому анализу. — М.: Издательство МГУ.
• Винберг М. М. Курс алгебры. — М.: Физматгиз (свойства пределов).