Открыть сервис
Главная → Блог → Свойства пределов функции

Свойства пределов функции

Предел функции — одно из базовых понятий математического анализа, описывающее поведение значения функции при приближении аргумента к некоторой точке (или к бесконечности). Предел лежит в основе определений непрерывности, производной и интеграла, поэтому его свойства образуют фундамент всей дифференциальной и интегральной теории. Под свойствами пределов понимают набор утверждений, позволяющих вычислять пределы сложных выражений через пределы более простых, не прибегая каждый раз к формальному определению.

Определение

В формулировке Коши предел функции \(f(x)\) в точке \(a\) равен числу \(L\), если для любого \(\varepsilon > 0\) существует такое \(\delta > 0\), что при \(0 < |x - a| < \delta\) выполняется неравенство \(|f(x) - L| < \varepsilon\). Запись: \(\lim_{x \to a} f(x) = L\).

Эквивалентное определение на языке последовательностей (по Гейне): \(L\) — предел, если для любой последовательности \(x_n \to a\), где \(x_n \neq a\), соответствующая последовательность значений \(f(x_n)\) сходится к \(L\). Эквивалентность определений Коши и Гейне доказывается и позволяет выбирать удобный способ при решении задач.

Основные свойства

Если пределы \(\lim f(x)\) и \(\lim g(x)\) существуют и конечны, то справедливы следующие правила.

  • Единственность. Предел функции в данной точке, если он существует, единственен.
  • Локальная ограниченность. Функция, имеющая конечный предел в точке, ограничена в некоторой окрестности этой точки.
  • Сохранение знака. Если предел положителен, то и значения функции положительны в достаточно малой окрестности точки.
  • Предел постоянной равен самой постоянной: \(\lim c = c\).
  • Предел суммы равен сумме пределов: \(\lim (f + g) = \lim f + \lim g\).
  • Предел произведения равен произведению пределов: \(\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g\).
  • Предел частного равен частному пределов при условии, что предел знаменателя не равен нулю.
  • Постоянный множитель можно выносить за знак предела: \(\lim (c \cdot f) = c \cdot \lim f\).

Эти свойства часто называют арифметическими свойствами пределов; они позволяют вычислять пределы многочленов и рациональных функций прямой подстановкой, если она не приводит к неопределённости.

Свойства, связанные с неравенствами

  • Переход к пределу в неравенстве. Если \(f(x) \le g(x)\) в окрестности точки и оба предела существуют, то \(\lim f \le \lim g\). Строгое неравенство при переходе к пределу может стать нестрогим.
  • Теорема о двух милиционерах (сжатой функции). Если \(f(x) \le h(x) \le g(x)\) и пределы \(f\) и \(g\) в точке совпадают и равны \(L\), то и \(\lim h = L\). Этот приём применяется, например, при вычислении \(\lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0\).
  • Предел модуля. Если \(\lim f = L\), то \(\lim |f| = |L|\); обратное утверждение неверно.

Односторонние пределы

Предел слева \(\lim_{x \to a^-} f(x)\) рассматривает приближение к точке со стороны меньших значений, предел справа \(\lim_{x \to a^+} f(x)\) — со стороны больших. Двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда оба односторонних предела существуют и равны между собой. Это свойство используется при исследовании точек разрыва и в определении непрерывности.

Замечательные пределы

Два предела играют особую роль в анализе и служат основой для раскрытия многих неопределённостей:

Из них выводятся многочисленные следствия, применяемые при вычислении пределов тригонометрических, показательных и логарифмических выражений.

Пределы и непрерывность

Функция непрерывна в точке \(a\), если \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\). Таким образом, свойства пределов напрямую переносятся на непрерывные функции: сумма, произведение и частное непрерывных функций непрерывны там, где они определены. Непрерывность, в свою очередь, обеспечивает существование производной и возможность применения теорем о промежуточных значениях и об экстремумах.

Раскрытие неопределённостей

Прямое применение арифметических свойств невозможно, когда возникает неопределённость видов \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(0 \cdot \infty\), \(\infty - \infty\), \(1^\infty\), \(0^0\), \(\infty^0\). Для их раскрытия используются:

Например, неопределённость \(\frac{0}{0}\) в \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) раскрывается через первый замечательный предел, а неопределённость \(1^\infty\) — через второй.

Сравнение функций

Свойства пределов позволяют ввести асимптотические обозначения. Если \(\lim \frac{f}{g} = 1\), функции называют эквивалентными (\(f \sim g\)); если предел отношения конечен и не равен нулю — величинами одного порядка; если предел равен нулю — \(f\) есть \(o(g)\). Эти понятия широко применяются в приближённых вычислениях и в анализе алгоритмов.

Значение и применение

Свойства пределов используются при доказательстве теорем о непрерывности, при выводе правил дифференцирования, при исследовании сходимости рядов и несобственных интегралов. В прикладных областях — физике, экономике, теории управления — аппарат пределов служит для описания мгновенных скоростей, скоростей реакций, предельной производительности и устойчивости систем.

Источники

  • Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
  • Зорич В. А. Математический анализ.
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа.

Похожие материалы