t-критерий Уэлча

t-критерий Уэлча (также критерий Уэлча, англ. Welch’s t-test) — это параметрический статистический критерий, используемый для проверки гипотезы о равенстве средних значений двух выборок. В отличие от классического двухвыборочного t-критерия Стьюдента, критерий Уэлча не предполагает равенства дисперсий в сравниваемых группах, что делает его более устойчивым к нарушению условия гомоскедастичности. Критерий был предложен английским статистиком Бернардом Уэлчем (Bernard Lewis Welch) в 1947 году.

История

До середины XX века при сравнении средних двух независимых выборок стандартно применялся t-критерий Стьюдента, разработанный Уильямом Госсетом (псевдоним Стьюдент) в 1908 году. Этот критерий основывался на предположении, что дисперсии двух генеральных совокупностей равны. Однако на практике равенство дисперсий часто не выполняется, особенно при работе с данными из разных популяций или при различном объёме выборок. Нарушение этого допущения приводило к искажению уровня значимости и снижению мощности критерия.

В 1947 году Бернард Уэлч, работавший в Университетском колледже Лондона, опубликовал статью, в которой предложил модификацию t-критерия, не требующую предположения о равенстве дисперсий. Уэлч также вывел приближённую формулу для числа степеней свободы, которая корректирует стандартную ошибку разности средних с учётом неравных дисперсий. С развитием вычислительной техники критерий Уэлча получил широкое распространение и стал рекомендуемым методом по умолчанию во многих статистических пакетах (например, R, SPSS, Python).

Математическая формулировка

Нулевая и альтернативная гипотезы

• Нулевая гипотеза H₀: μ₁ = μ₂ (средние значения двух генеральных совокупностей равны).
• Альтернативная гипотеза H₁: μ₁ ≠ μ₂ (двусторонняя) или μ₁ > μ₂ / μ₁ < μ₂ (односторонняя).

Статистика критерия

Статистика t-критерия Уэлча вычисляется по формуле:

\[ t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} \]

где:

• \(\bar{X}_1, \bar{X}_2\) — выборочные средние;
• \(s_1^2, s_2^2\) — выборочные дисперсии;
• \(n_1, n_2\) — объёмы выборок.

Знаменатель представляет собой стандартную ошибку разности средних, вычисленную без объединения дисперсий.

Число степеней свободы

Число степеней свободы ν (ню) для критерия Уэлча определяется по приближённой формуле Саттертуэйта (Уэлча-Саттертуэйта):

\[ \nu = \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{\frac{(s_1^2 / n_1)^2}{n_1 - 1} + \frac{(s_2^2 / n_2)^2}{n_2 - 1}} \]

Полученное значение ν обычно не является целым числом и округляется до ближайшего целого в меньшую сторону для использования таблиц t-распределения. В современных статистических пакетах используется дробное значение.

Сравнение с t-критерием Стьюдента

Применение

Области использования

Критерий Уэлча применяется в различных областях, где требуется сравнение средних двух групп:

• Медицина и биология: сравнение эффективности лечения в контрольной и экспериментальной группах, особенно при разной вариабельности показателей.
• Психология и социология: анализ результатов опросов или тестов, когда дисперсии ответов в разных социальных группах могут различаться.
• Экономика и финансы: сравнение доходности портфелей или показателей компаний с разным уровнем риска.
• Технические науки: анализ результатов измерений на разных приборах или при разных условиях.

Условия применимости

1. Независимость выборок: наблюдения в двух группах должны быть независимы друг от друга.
2. Нормальность распределения: критерий Уэлча, как и t-критерий Стьюдента, предполагает нормальное распределение данных в каждой группе. Однако при больших объёмах выборок (n > 30) критерий устойчив к умеренным отклонениям от нормальности благодаря центральной предельной теореме.
3. Шкала измерения: данные должны быть измерены в интервальной или относительной шкале.

Ограничения

• Критерий чувствителен к сильным выбросам, которые могут исказить средние и дисперсии.
• При малых выборках (n < 10) и сильном отклонении от нормальности рекомендуется использовать непараметрические аналоги, например, U-критерий Манна-Уитни.
• Критерий не предназначен для сравнения более двух групп — в таких случаях применяется однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA) с поправкой Уэлча или его непараметрические аналоги.

Пример расчёта

Пусть имеются две выборки:

• Группа A: n₁ = 10, среднее = 5.0, дисперсия = 4.0
• Группа B: n₂ = 15, среднее = 6.0, дисперсия = 9.0

1. Вычисление статистики t:

\[ t = \frac{5.0 - 6.0}{\sqrt{\frac{4.0}{10} + \frac{9.0}{15}}} = \frac{-1.0}{\sqrt{0.4 + 0.6}} = \frac{-1.0}{\sqrt{1.0}} = -1.0 \]

1. Вычисление числа степеней свободы:

\[ \nu = \frac{(0.4 + 0.6)^2}{\frac{0.4^2}{9} + \frac{0.6^2}{14}} = \frac{1.0}{\frac{0.16}{9} + \frac{0.36}{14}} = \frac{1.0}{0.01778 + 0.02571} = \frac{1.0}{0.04349} \approx 22.99 \]

1. Сравнение с критическим значением: для двусторонней гипотезы при α = 0.05 и ν ≈ 23 критическое значение t ≈ 2.069. Поскольку |t| = 1.0 < 2.069, нулевая гипотеза о равенстве средних не отвергается.

Реализация в статистических пакетах

• R: функция t.test() с параметром var.equal = FALSE (по умолчанию).
• Python (SciPy): функция scipy.stats.ttest_ind() с параметром equal_var = False.
• SPSS: в меню «Сравнение средних» → «Независимые выборки T-критерий» выбирается опция «Не предполагать равенство дисперсий».
• Excel: надстройка «Пакет анализа» → «Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями».
• Jamovi: модуль «T-тесты» → «Независимые выборки T-тест» с отключённой опцией «Равенство дисперсий».

Интересные факты

• Критерий Уэлча также известен как t-критерий с поправкой Уэлча или t-критерий для неравных дисперсий.
• В некоторых учебниках и руководствах рекомендуется всегда использовать критерий Уэлча вместо критерия Стьюдента, даже если дисперсии равны, так как потеря мощности при этом минимальна, а риск ложных выводов при нарушении гомоскедастичности значительно снижается.
• Формула для числа степеней свободы была независимо предложена Фредериком Саттертуэйтом в 1946 году, поэтому её часто называют аппроксимацией Саттертуэйта.
• В 2012 году группа статистиков (Zimmerman, Zumbo и др.) показала, что критерий Уэлча сохраняет номинальный уровень значимости даже при значительных отклонениях от нормальности, если объёмы выборок не слишком малы.

Источники

• Welch, B. L. (1947). "The generalization of 'Student's' problem when several different population variances are involved". Biometrika, 34(1–2), 28–35.
• Satterthwaite, F. E. (1946). "An approximate distribution of estimates of variance components". Biometrics Bulletin, 2(6), 110–114.
• Ruxton, G. D. (2006). "The unequal variance t-test is an underused alternative to Student's t-test and the Mann–Whitney U test". Behavioral Ecology, 17(4), 688–690.
• Zimmerman, D. W. (2004). "A note on the robustness of the Welch test". Journal of Modern Applied Statistical Methods, 3(2), 351–356.