Параллелограмм в геометрии¶

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Является одним из базовых объектов планиметрии: к параллелограммам относятся прямоугольник, ромб и квадрат, а сам термин используется в геометрии, механике, кристаллографии и векторной алгебре. Название происходит от греческих слов παράλληλος («параллельный») и γραμμή («линия»).

¶Определение и свойства

Параллелограмм задаётся четырьмя точками A, B, C, D, соединёнными в замкнутую ломаную, при условии AB ∥ CD и BC ∥ AD. Из определения вытекает ряд свойств:

• противоположные стороны равны: AB = CD, BC = AD;
• противоположные углы равны: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D;
• сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
• диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам;
• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон (тождество параллелограмма): d₁² + d₂² = 2(a² + b²).

Площадь параллелограмма вычисляется несколькими способами: как произведение стороны на высоту, опущенную к ней (S = a·hₐ), как произведение двух смежных сторон на синус угла между ними (S = ab·sin α), а также через векторное произведение сторон или через диагонали и угол между ними.

¶Признаки параллелограмма

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из условий:

1. Две противоположные стороны равны и параллельны.
2. Противоположные стороны попарно равны.
3. Противоположные углы попарно равны.
4. Диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
5. Сумма соседних углов равна 180°.

Эти признаки применяются в задачах на доказательство и в построениях.

¶Частные случаи

Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба одновременно. Прямоугольник и ромб, в свою очередь, являются частными случаями параллелограмма, но не наоборот.

¶История изучения

Свойства параллелограмма были известны задолго до формирования аксиоматической геометрии. В древнеегипетских и вавилонских текстах встречаются задачи на вычисление площадей четырёхугольников, близких к параллелограммам. Систематическое изложение дал Евклид в «Началах» (III век до н. э.): в первой книге доказываются равенство противоположных сторон и углов, а также признаки равенства треугольников, на которых строится теория параллелограммов. Дальнейшее развитие тема получила в работах Архимеда, Паппа Александрийского и средневековых арабских математиков, а в Новое время — в аналитической геометрии Рене Декарта и векторном исчислении.

Русские математики XIX века, в частности Николай Иванович Лобачевский, пересмотрели основания геометрии, показав, что свойства параллелограмма зависят от аксиомы о параллельных. В неевклидовой геометрии Лобачевского сумма углов четырёхугольника меньше 360°, поэтому классический параллелограмм с попарно параллельными сторонами там не существует в евклидовом виде.

¶Применение

В геометрии и алгебре. Параллелограмм служит геометрической моделью сложения векторов: если два вектора отложены из одной точки, их сумма изображается диагональю построенного на них параллелограмма (правило параллелограмма). Это лежит в основе разложения сил и скоростей.

В физике и технике. Правило параллелограмма применяется в механике при сложении сил, в электротехнике — при сложении переменных токов и напряжений (векторные диаграммы), в навигации — при расчёте результирующего курса.

В архитектуре и дизайне. Параллелограмм используется в орнаментах, паркете, мозаике, при проектировании наклонных элементов конструкций. Параллелограммный механизм (шарнирный четырёхзвённик) применяется в подвесках автомобилей, пантографах, чертёжных приборах для сохранения параллельности перемещаемых звеньев.

В кристаллографии. Элементарная ячейка кристаллической решётки часто имеет форму параллелепипеда — пространственного аналога параллелограмма; его рёбра задают векторы трансляции решётки.

¶Пространственный аналог

В трёхмерном пространстве аналогом параллелограмма является параллелепипед — призма, основания которой параллельны и равны. Объём параллелепипеда, построенного на трёх векторах, равен модулю их смешанного произведения. Прямоугольный параллелепипед, все грани которого — прямоугольники, лежит в основе декартовой системы координат.

¶Интересные факты

• Тождество параллелограмма обобщается на произвольные четырёхугольники в виде теоремы Эйлера о четырёхугольниках.
• Из всех параллелограммов заданного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.
• Параллелограмм, отличный от прямоугольника, не имеет вписанной и описанной окружностей одновременно.
• Мозаика из одинаковых параллелограммов покрывает плоскость без зазоров и перекрытий — это простейший пример периодического замощения.

¶Источники

• Евклид. Начала. Книги I–VI.
• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Геометрия. 7–9 классы.
• Погорелов А. В. Геометрия.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике.
• Александров А. Д. и др. Математика: её содержание, методы и значение.