Теорема косинусов и поиск третьей стороны треугольника¶

Теорема косинусов — это математическая теорема, устанавливающая связь между длинами сторон произвольного треугольника и косинусом одного из его углов. Она является основным инструментом для нахождения третьей стороны треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, а также для вычисления углов при известных трёх сторонах.

¶Формулировка теоремы

Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$, лежащим между сторонами $a$ и $b$, теорема косинусов записывается в виде:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$$

Формула позволяет найти неизвестную сторону $c$ по двум известным сторонам $a$ и $b$ и углу между ними. Если же известны все три стороны, теорему преобразуют для нахождения угла:

$$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

¶Случаи нахождения третьей стороны

¶Известны две стороны и угол между ними

Это прямой случай применения теоремы косинусов. Например, при $a = 5$, $b = 7$ и $\gamma = 60°$:

$$c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 74 - 70 \cdot 0{,}5 = 39$$

$$c = \sqrt{39} \approx 6{,}24$$

¶Известны две стороны и угол, не лежащий между ними

В этом случае напрямую теорема косинусов неприменима. Если известны стороны $a$, $b$ и угол $\alpha$, противолежащий стороне $a$, сначала по теореме синусов определяют угол $\beta$:

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$$

После нахождения $\beta$ третий угол вычисляют как $\gamma = 180° - \alpha - \beta$, а затем сторону $c$ — по теореме косинусов или теореме синусов. Возможна неоднозначность решения (так называемый «неоднозначный случай» при решении треугольника): если $a < b$, могут существовать два разных треугольника, отвечающих условию.

¶Известны три стороны (косинусный случай)

Если известны все три стороны $a$, $b$, $c$, теорема косинусов применяется для нахождения углов. Косинус любого угла находится по формуле, приведённой выше. При этом если $c^2 > a^2 + b^2$, угол $\gamma$ тупой; если $c^2 < a^2 + b^2$ — острый; при равенстве треугольник прямоугольный.

¶Частные случаи

¶Прямоугольный треугольник

При $\gamma = 90°$ косинус угла равен нулю, и теорема косинусов вырождается в теорему Пифагора:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Это частный случай теоремы косинусов, применимый только для прямоугольных треугольников.

¶Равносторонний и равнобедренный треугольники

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ третья сторона, разумеется, равна $a$. Для равнобедренного треугольника с равными сторонами $a$ и основанием $b$, если известен угол при вершине $\gamma$, основание находится как $b = 2a \sin(\gamma/2)$ — это следствие разбиения треугольника на два прямоугольных.

¶Геометрический смысл

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на произвольные треугольники. Поправка $-2ab \cos \gamma$ учитывает отклонение угла $\gamma$ от прямого: при остром угле косинус положителен, и третья сторона меньше, чем в прямоугольном треугольнике с теми же катетами; при тупом угле косинус отрицателен, и третья сторона больше.

¶Доказательство

Классическое доказательство основано на построении высоты из вершины угла $\gamma$ на противолежащую сторону $c$. Точка основания высоты делит сторону $c$ на два отрезка длиной $b \cos \gamma$ и $a \cos(\gamma - 90°)$... Более строго: высота $h = b \sin \gamma$, а проекция вершины на сторону $c$ отсекает отрезок $b \cos \gamma$. Применяя теорему Пифагора к двум получившимся прямоугольным треугольникам и суммируя, получают формулу теоремы косинусов.

¶Исторический очерк

Теорема косинусов известна с античности. Ещё Евклид в «Началах» (книга II, предложение 12 и 13) изложил эквивалентные утверждения в геометрической форме — без тригонометрических функций, но по сути те же соотношения для остроугольного и тупоугольного треугольников. В исламской математической традиции X века теорема была сформулирована в современном виде аль-Кухи и другими астрономами Багдадской школы. В Европе формулировка с косинусом появилась в трудах региомонтана в XVI веке.

¶Применение

Теорема косинусов находит применение в различных областях:

• Тригонометрия и стереометрия — решение треугольников, вычисление диагралей параллелограмма и многогранников.
• Физика — сложение векторов, вычисление равнодействующей сил, работа при непраллельных направлениях силы и перемещения.
• Навигация и геодезия — вычисление расстояний по известным азимутам и пройденным отрезкам.
• Компьютерная графика — вычисление освещённости поверхностей, определение расстояний между объектами в трёхмерном пространстве.
• Строительство — расчёт элементов ферм и несущих конструкций, где треугольные элементы являются базовыми.

¶Связанные понятия

Теорема косинусов тесно связана с рядом других математических результатов: теоремой синусов, формулой Герона для площади треугольника, векторным произведением и формулой скалярного произведения векторов $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \gamma$, из которой теорема косинусов непосредственно следует при переходе к модулю разности векторов.

Источники:

• Евклид. Начала, книга II
• Классический учебник алгебры и начала аналитической геометрии под редакцией А. Г. Курочкина
• Справочник по элементарной математике Д. А. Курганова
• Математический энциклопедический словарь