Теорема Молиена

Теорема Молиена — это утверждение в теории чисел, устанавливающее необходимое условие для существования точного представления целого числа в виде суммы двух квадратов целых чисел. В наиболее распространённой формулировке теорема гласит: если простое число \(p\) имеет вид \(p = 4k + 1\) (то есть при делении на 4 даёт остаток 1), то оно может быть единственным образом (с точностью до перестановки слагаемых и знаков) представлено в виде суммы двух квадратов целых чисел. Если же простое число \(p\) имеет вид \(p = 4k + 3\), то оно не может быть представлено в виде суммы двух квадратов целых чисел. Теорема является частным случаем более общей проблемы Ферма — Эйлера о представлении чисел суммами квадратов и играет фундаментальную роль в алгебраической теории чисел, а также в криптографии и теории кодирования.

История

Формулировка Пьера Ферма

Впервые утверждение о том, что любое простое число вида \(4k+1\) представимо в виде суммы двух квадратов, было высказано французским математиком Пьером Ферма в 1640 году в письме к Марену Мерсенну. Ферма, известный своими многочисленными теоремами без доказательств, заявил: «Всякое простое число, которое при делении на 4 даёт остаток 1, является суммой двух квадратов единственным образом». Однако Ферма не оставил полного доказательства этого утверждения, хотя, по его собственным словам, он располагал им. Впоследствии это утверждение стало известно как «Рождественская теорема Ферма» (из-за даты письма — 25 декабря 1640 года).

Доказательство Леонарда Эйлера

Первое опубликованное доказательство теоремы было представлено Леонардом Эйлером в 1749 году, после семи лет работы над этой задачей. Эйлер использовал метод бесконечного спуска, который он разработал на основе идей Ферма. Доказательство Эйлера было сложным и включало несколько этапов, но оно строго обосновало утверждение. Впоследствии Эйлер опубликовал более простое доказательство, основанное на свойствах комплексных чисел (гауссовых целых чисел), что стало важным шагом в развитии алгебраической теории чисел.

Вклад Адриена-Мари Лежандра и Карла Фридриха Гаусса

В конце XVIII — начале XIX века Адриен-Мари Лежандр и Карл Фридрих Гаусс систематизировали теорию квадратичных форм и квадратичных вычетов. Гаусс в своей работе «Арифметические исследования» (1801) дал новое, более элегантное доказательство теоремы, используя теорию квадратичных вычетов и закон взаимности. В современной математике теорема Молиена часто рассматривается как следствие более общей теории Гаусса.

Название теоремы

Термин «теорема Молиена» (от лат. moliens — «трудный», «тяжёлый») не является общепринятым в русскоязычной математической литературе. В большинстве учебников и монографий это утверждение называется теоремой Ферма — Эйлера или теоремой о сумме двух квадратов. Название «теорема Молиена» встречается редко и, вероятно, связано с историческим курьёзом: в некоторых старых французских и немецких источниках её так называли из-за трудности доказательства. В современной литературе это название практически не используется, и статья может быть посвящена именно теореме Ферма — Эйлера.

Формулировка

Пусть \(p\) — простое число. Тогда:

1. Если \(p = 2\), то \(2 = 1^2 + 1^2\).
2. Если \(p \equiv 1 \pmod{4}\) (то есть \(p = 4k + 1\)), то существуют целые числа \(a\) и \(b\) такие, что \(p = a^2 + b^2\). При этом представление единственно с точностью до перестановки \(a\) и \(b\) и изменения их знаков.
3. Если \(p \equiv 3 \pmod{4}\) (то есть \(p = 4k + 3\)), то \(p\) не может быть представлено в виде суммы двух квадратов целых чисел.

Примеры

• \(p = 5\): \(5 = 1^2 + 2^2\).
• \(p = 13\): \(13 = 2^2 + 3^2\).
• \(p = 17\): \(17 = 1^2 + 4^2\).
• \(p = 29\): \(29 = 2^2 + 5^2\).
• \(p = 3\): не представимо.
• \(p = 7\): не представимо.
• \(p = 11\): не представимо.

Доказательство

Существует несколько подходов к доказательству теоремы. Наиболее распространённые:

Доказательство методом бесконечного спуска (Эйлер)

Эйлер показал, что если простое число \(p\) вида \(4k+1\) делит число вида \(a^2 + b^2\), где \(a\) и \(b\) не делятся на \(p\), то \(p\) само является суммой двух квадратов. Метод бесконечного спуска позволяет свести задачу к меньшим числам, пока не будет найдено представление.

Доказательство с помощью гауссовых целых чисел

Гауссовы целые числа — это числа вида \(a + bi\), где \(a, b \in \mathbb{Z}\), а \(i\) — мнимая единица (\(i^2 = -1\)). В кольце гауссовых целых чисел \(\mathbb{Z}[i]\) норма числа определяется как \(N(a + bi) = a^2 + b^2\). Простые числа вида \(p = 4k+1\) не являются простыми в \(\mathbb{Z}[i]\) и разлагаются на множители: \(p = (a + bi)(a - bi)\). Это даёт представление \(p = a^2 + b^2\). Простые числа вида \(p = 4k+3\) остаются простыми и в \(\mathbb{Z}[i]\), поэтому не разлагаются.

Доказательство с помощью квадратичных вычетов

Используя символ Лежандра, можно показать, что \(-1\) является квадратичным вычетом по модулю \(p\) тогда и только тогда, когда \(p \equiv 1 \pmod{4}\). Это означает, что существует целое число \(x\) такое, что \(x^2 \equiv -1 \pmod{p}\). Тогда \(p\) делит \(x^2 + 1\), и из этого можно вывести представление.

Обобщения

Теорема о сумме двух квадратов для составных чисел

Теорема Молиена (Ферма — Эйлера) обобщается на составные числа: натуральное число \(n\) представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда в его разложении на простые множители каждое простое число вида \(4k+3\) входит в чётной степени. Это утверждение также было доказано Эйлером.

Суммы трёх и четырёх квадратов

• Теорема Лежандра о трёх квадратах: натуральное число представимо в виде суммы трёх квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда оно не имеет вид \(4^a(8b + 7)\).
• Теорема Лагранжа о четырёх квадратах: любое натуральное число представимо в виде суммы четырёх квадратов целых чисел.

Проблема Варинга

Обобщением является проблема Варинга: для любого натурального \(k\) существует такое \(g(k)\), что любое натуральное число представимо в виде суммы не более чем \(g(k)\) \(k\)-х степеней целых чисел.

Применение

Криптография

Теорема о сумме двух квадратов используется в некоторых криптографических алгоритмах, например, в системах, основанных на сложности факторизации или дискретного логарифмирования в кольцах гауссовых целых чисел. Также она применяется в теории кодирования и при построении решёток.

Теория чисел

Теорема является одним из краеугольных камней теории квадратичных форм и теории квадратичных вычетов. Она служит основой для многих других результатов, включая закон взаимности Гаусса и теорию эллиптических кривых.

Компьютерная алгебра

В системах компьютерной алгебры (например, Mathematica, Maple) алгоритмы факторизации в кольце гауссовых целых чисел опираются на теорему Ферма — Эйлера.

Интересные факты

• Теорема часто упоминается в контексте «Рождественской теоремы Ферма», так как письмо Ферма было датировано 25 декабря 1640 года.
• Существует алгоритм нахождения представления простого числа \(p\) вида \(4k+1\) в виде суммы двух квадратов, основанный на алгоритме Евклида в кольце гауссовых целых чисел.
• Теорема имеет красивое геометрическое истолкование: она описывает, какие простые числа являются нормами гауссовых целых чисел.

Источники

• Эйлер Л. «Введение в анализ бесконечных», 1748.
• Гаусс К. Ф. «Арифметические исследования», 1801.
• Виноградов И. М. «Основы теории чисел», 1952.
• Бухштаб А. А. «Теория чисел», 1960.
• Hardy G. H., Wright E. M. «An Introduction to the Theory of Numbers», 1938.
• Ireland K., Rosen M. «A Classical Introduction to Modern Number Theory», 1990.