Теорема Пифагора и поиск гипотенузы¶

Теорема Пифагора — фундаментальное положение евклидовой геометрии, устанавливающее соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Формула, вытекающая из теоремы, позволяет найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум катетам: если катеты равны a и b, а гипотенуза — c, то c² = a² + b², откуда c = √(a² + b²).

¶Историческая справка

Теорема носит имя древнегреческого математика и философа Пифагора Самосского (VI век до н. э.), хотя соотношение между сторонами прямоугольного треугольника было известно значительно раньше. Вавилонские и египетские математики использовали его на практике при строительстве и землемерии: например, египетские жрецы применяли верёвку с узлами, натянутой в пропорции 3:4:5, для выстраивания прямых углов при размежевании полей после разлива Нила. Вавилонские глиняные таблички, датируемые примерно XVIII веком до н. э., содержат наборы троек чисел, удовлетворяющих условию a² + b² = c², — то есть примеры применения теоремы без её формулировки.

В Древней Греции первое строгое доказательство теоремы приписывается Пифагору или его последователям — пифагорейцам. Оно основано на разбиении квадрата, построенного на гипотенузе, на части и перекладывании их в квадраты, построенные на катетах. В «Началах» Евклида (около 300 года до н. э.) теорема приведена как предложение I.47 с геометрическим доказательством, не опирающимся на теорию пропорций.

¶Формулировка и доказательство

Пусть треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при вершине C. Тогда:

c² = a² + b²,

где a и b — катеты, c — гипотенуза (сторона, лежащая против прямого угла).

Классическое геометрическое доказательство строится следующим образом. На каждой из трёх сторон треугольника строятся квадраты. Проводится высота из прямого угла к гипотенузе, делящая квадрат на гипотенузе на два прямоугольника. Каждый из этих прямоугольников по площади равен соответствующему квадрату на катете, что и доказывает равенство площадей.

Существуют и алгебраические доказательства. Одно из них основано на четырёх одинаковых прямоугольных треугольниках, вписанных в квадрат со стороной a + b: внутренняя фигура — квадрат со стороной c, площадь которого равна разности площади большого квадрата и площади четырёх треугольников, что приводит к нужному соотношению.

¶Как найти гипотенузу по двум катетам

Алгоритм вычисления прямой и очевиден:

1. Возвести каждый из катетов в квадрат.
2. Сложить полученные квадраты.
3. Извлечь квадратный корень из суммы.

Пример. Катеты равны 3 и 4. Тогда c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, откуда c = √25 = 5.

Пример. Катеты равны 5 и 12. Тогда c² = 25 + 144 = 169, откуда c = √169 = 13.

Пример с иррациональным результатом. Катеты равны 1 и 1. Тогда c² = 1 + 1 = 2, откуда c = √2 ≈ 1,414.

¶Пифагоровы тройки

Тройки натуральных чисел (a, b, c), удовлетворяющие соотношению a² + b² = c², называются пифагоровыми тройками. Наиболее известные из них:

Существует формула Евклида для построения пифагоровых тройок: при произвольных натуральных m > n тройка (m² − n², 2mn, m² + n²) является пифагоровой.

¶Обратные задачи

Из теоремы Пифагора вытекают две обратные задачи:

• По двум катетам найти гипотенузу — формула c = √(a² + b²).
• По гипотенузе и одному катету найти второй катет — формула b = √(c² − a²).

Обратная теорема также верна: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то треугольник прямоугольный.

¶Обобщения

Теорема Пифагора — частный случай более общих теорем. Теорема косинусов для произвольного треугольника записывается в виде c² = a² + b² − 2ab·cos C; при C = 90° косинус обращается в ноль, и формула вырождается в теорему Пифагора. В трёхмерном пространстве теорема обобщается на прямоугольный тетраэдр: квадрат площади грани, лежащей против прямого трёхгранного угла, равен сумме квадратов площадей остальных трёх граней.

Теорема Пифагора лежит в основе тригонометрии: из неё выводится основное тригонометрическое тождество sin²α + cos²α = 1, а также определения синуса, косинуса и тангенса через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

¶Применение

Теорема Пифагора применяется в самых различных областях:

• Строительство и архитектура — проверка прямоугольности углов, вычисление длины стропил и диагоналей.
• Навигация и геодезия — определение расстояний по координатам.
• Физика и инженерия — разложение векторов на ортогональные компоненты, вычисление результантных величин.
• Компьютерные науки — алгоритмы вычисления расстояний (метрика Евклида), компьютерная графика, обработка изображений.
• Программирование — проверка пересечений объектов, вычисление длины вектора.

В школьной программе теорема Пифагора изучается в курсе геометрии и служит основой для решения множества задач на вычисление сторон, площадей и периметров треугольников.

Источники:

• Евклид. Начала. Книга I, предложение 47.
• Виленкин Н. Я., Жохов В. И. Математика. 7 класс.
• Поспелов Ю. М. Задачи по геометрии.
• Классические труды по истории математики: пифагорейцы, вавилонская математика.