Теорема Тевенина

Теорема Тевенина (также известная как теорема Тевенена, теорема Тевенина — Гельмгольца) — фундаментальное утверждение в теории электрических цепей, которое гласит, что любую линейную электрическую цепь с двумя выводами (двухполюсник) можно заменить эквивалентной схемой, состоящей из одного источника напряжения (называемого напряжением Тевенина \( V_{th} \)) и одного последовательно соединённого резистора (сопротивления Тевенина \( R_{th} \)). Эта эквивалентная схема ведёт себя идентично исходной цепи по отношению к нагрузке, подключённой к её выводам. Теорема является мощным инструментом для анализа сложных цепей, позволяя упростить расчёты токов и напряжений в отдельных ветвях.

История

Теорема была впервые сформулирована и опубликована немецким физиком Германом фон Гельмгольцем в 1853 году в работе «О некоторых законах распределения электрических токов в физических проводниках с приложением к теории электрических телеграфов». Однако широкое признание и распространение теорема получила после того, как в 1883 году французский инженер-телеграфист Леон Шарль Тевенен (Léon Charles Thévenin) независимо переоткрыл её и опубликовал в журнале «Annales Télégraphiques». В англоязычной литературе теорема чаще называется теоремой Тевенина, в то время как в немецкоязычной — теоремой Гельмгольца. В русскоязычной традиции оба названия используются как синонимы, хотя чаще встречается вариант «теорема Тевенина».

Формулировка и математическое выражение

Для любой линейной цепи, содержащей источники напряжения, источники тока и резисторы, по отношению к двум выводам (зажимам) \( a \) и \( b \), можно построить эквивалентную схему, состоящую из:

• Напряжения Тевенина (\( V_{th} \)): напряжение холостого хода между выводами \( a \) и \( b \) в исходной цепи (то есть напряжение, которое измеряется на разомкнутых выводах).
• Сопротивления Тевенина (\( R_{th} \)): эквивалентное сопротивление цепи между выводами \( a \) и \( b \), при условии, что все независимые источники напряжения в цепи заменены короткими замыканиями, а все независимые источники тока — разрывами цепи (холостым ходом).

Ток через нагрузку \( R_L \), подключённую к выводам \( a \) и \( b \), рассчитывается по закону Ома для эквивалентной схемы: \[ I_L = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L} \]

Методы расчёта параметров эквивалентной схемы

Расчёт напряжения Тевенина (\( V_{th} \))

Напряжение Тевенина равно напряжению между выводами \( a \) и \( b \) в исходной схеме, когда к ним ничего не подключено (режим холостого хода). Для его нахождения применяются стандартные методы анализа цепей: метод узловых потенциалов, метод контурных токов, законы Кирхгофа.

Расчёт сопротивления Тевенина (\( R_{th} \))

Существует два основных способа:

1. Метод пассивной цепи: Все независимые источники напряжения закорачиваются, независимые источники тока размыкаются. После этого рассчитывается эквивалентное сопротивление цепи относительно выводов \( a \) и \( b \). Этот метод прост, но неприменим, если в цепи есть зависимые источники.
2. Метод тестового сигнала: Если в цепи есть зависимые источники, или если расчёт пассивной цепи затруднён, используется следующий подход: все независимые источники отключаются (как в методе 1), к выводам \( a \) и \( b \) подключается внешний источник напряжения \( V_{test} \) (или тока \( I_{test} \)), и измеряется ток \( I_{test} \) (или напряжение \( V_{test} \)), протекающий через этот источник. Сопротивление Тевенина находится как \( R_{th} = V_{test} / I_{test} \).

Связь с теоремой Нортона

Теорема Тевенина тесно связана с теоремой Нортона. Эквивалентная схема Нортона представляет собой источник тока \( I_N \) (ток короткого замыкания между выводами \( a \) и \( b \)), включённый параллельно с сопротивлением \( R_{th} \). Переход от одной схемы к другой осуществляется с помощью преобразования источника: \[ V_{th} = I_N \cdot R_{th} \] \[ I_N = \frac{V_{th}}{R_{th}} \] Сопротивление Тевенина и сопротивление Нортона совпадают.

Применение

Теорема Тевенина широко используется в электротехнике и электронике для:

• Упрощения анализа цепей: Позволяет заменить сложную часть схемы (например, многокаскадный усилитель или блок питания) простым эквивалентом, что облегчает расчёт влияния нагрузки.
• Расчёта максимальной мощности: Теорема о максимальной передаче мощности утверждает, что нагрузка получает максимальную мощность, когда её сопротивление равно сопротивлению Тевенина источника (\( R_L = R_{th} \)).
• Анализа нелинейных цепей: Хотя теорема применима только к линейным цепям, она используется для линеаризации участков вольт-амперных характеристик нелинейных элементов (например, диодов или транзисторов) в рабочей точке, что позволяет применять линейные методы анализа.
• Моделирования источников сигнала: Любой реальный источник напряжения (например, аккумулятор, генератор) можно представить в виде идеального источника напряжения \( V_{th} \) (ЭДС) и внутреннего сопротивления \( R_{th} \).

Пример применения

Рассмотрим цепь, состоящую из источника напряжения \( V_s = 12 \, В \), резисторов \( R_1 = 4 \, Ом \), \( R_2 = 6 \, Ом \) и нагрузки \( R_L = 8 \, Ом \), соединённых в мостовую схему. Требуется найти ток через нагрузку.

1. Нахождение \( V_{th} \):

Отключаем нагрузку \( R_L \). Напряжение холостого хода между выводами \( a \) и \( b \) равно разности потенциалов на резисторе \( R_2 \). Ток через последовательную цепь \( R_1 \) и \( R_2 \): \( I = V_s / (R_1 + R_2) = 12 / (4 + 6) = 1.2 \, A \). Напряжение на \( R_2 \): \( V_{R2} = I \cdot R_2 = 1.2 \cdot 6 = 7.2 \, В \). Следовательно, \( V_{th} = 7.2 \, В \).

1. Нахождение \( R_{th} \):

Закорачиваем источник напряжения \( V_s \). Сопротивление между выводами \( a \) и \( b \) равно параллельному соединению резисторов \( R_1 \) и \( R_2 \): \( R_{th} = (R_1 \cdot R_2) / (R_1 + R_2) = (4 \cdot 6) / (4 + 6) = 24 / 10 = 2.4 \, Ом \).

1. Расчёт тока нагрузки:

Подключаем нагрузку \( R_L \) к эквивалентной схеме Тевенина. Ток через нагрузку: \( I_L = V_{th} / (R_{th} + R_L) = 7.2 / (2.4 + 8) = 7.2 / 10.4 \approx 0.692 \, A \).

Ограничения

Теорема Тевенина применима только к линейным цепям, то есть цепям, состоящим из резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности и линейных источников (с постоянным или синусоидальным сигналом). Она не работает в цепях, содержащих нелинейные элементы (диоды, транзисторы в активном режиме, тиристоры) без предварительной линеаризации. Кроме того, теорема справедлива только для цепей с двумя выводами (двухполюсников) и не применима непосредственно к многополюсникам.

Источники

1. Г. фон Гельмгольц. «О некоторых законах распределения электрических токов в физических проводниках с приложением к теории электрических телеграфов». 1853.
2. Л. Ш. Тевенен. «Sur un nouveau théorème d'électricité dynamique». Annales Télégraphiques, 1883.
3. Ч. А. Дезо, Э. С. Кун. «Основные методы анализа цепей». 1969.
4. Р. Дорф, Дж. Свенсон. «Линейные электрические цепи». 2010.