Теорема Виета и её формула¶

Теорема Виета — утверждение, связывающее коэффициенты приведённого квадратного уравнения с его корнями. Согласно теореме, сумма корней уравнения вида x² + px + q = 0 равна коэффициенту при первой степени неизвестного, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Теорема названа в честь французского математика Франсуа Виета (1540—1603), который установил зависимость между корнями и коэффициентами многочлена.

¶Формулировка

Для приведённого квадратного уравнения

x² + px + q = 0

с корнями x₁ и x₂ справедливы соотношения:

x₁ + x₂ = −p;
x₁ · x₂ = q.

Для общего квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 (при a ≠ 0) формулы принимают вид:

x₁ + x₂ = −b / a;
x₁ · x₂ = c / a.

Теорема применима и к полному, и к неполному квадратному уравнению, если оно имеет действительные корни. В случае отрицательного дискриминанта корней в поле действительных чисел нет, однако соотношения сохраняются для комплексных корней.

¶Обратная теорема

Верно и обратное утверждение: если для чисел x₁ и x₂ выполняются равенства x₁ + x₂ = −p и x₁ · x₂ = q, то эти числа являются корнями уравнения x² + px + q = 0. Обратная теорема часто используется для проверки найденных корней и для составления квадратного уравнения по заданным корням.

¶Примеры применения

Пример 1. Уравнение x² − 5x + 6 = 0. По теореме Виета x₁ + x₂ = 5, x₁ · x₂ = 6. Подбором находим корни: 2 и 3.

Пример 2. Уравнение x² + 7x + 12 = 0. Сумма корней равна −7, произведение равно 12. Корни: −3 и −4.

Пример 3. Уравнение 2x² − 8x + 6 = 0. Здесь a = 2, b = −8, c = 6. Сумма корней равна 8 / 2 = 4, произведение — 6 / 2 = 3. Корни: 1 и 3.

¶Свойства и следствия

Из теоремы Виета вытекают полезные соотношения:

если свободный член q отрицателен, корни имеют разные знаки;
если q положителен, а сумма корней положительна, оба корня положительны;
если q положителен, а сумма отрицательна, оба корня отрицательны;
при q = 0 один из корней равен нулю.

Эти признаки позволяют быстро определять знаки корней без вычисления дискриминанта.

¶Обобщение на многочлены

Теорема Виета распространяется на алгебраические уравнения произвольной степени. Для приведённого многочлена

xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + a₂xⁿ⁻² + … + aₙ = 0

с корнями x₁, x₂, …, xₙ выполняются соотношения:

сумма корней x₁ + x₂ + … + xₙ = −a₁;
сумма попарных произведений = a₂;
произведение всех корней = (−1)ⁿ · aₙ.

Таким образом, коэффициенты многочлена выражаются через элементарные симметрические функции его корней. Это одна из фундаментальных связей алгебры, лежащая в основе теории симметрических многочленов.

¶История

Франсуа Виет — французский математик, один из основоположников символической алгебры. Он ввёл буквенные обозначения для известных и неизвестных величин, что позволило записывать уравнения и их решения в общем виде. Зависимость между корнями и коэффициентами уравнения Виет изложил в трудах конца XVI века. Современная формулировка теоремы и её доказательство для уравнений высших степеней были развиты позднее, в работах математиков XVII—XVIII веков. Симметрические функции корней, носящие имя Виета, применяются в алгебре, теории чисел и вычислительной математике.

¶Значение и применение

Теорема Виета — один из базовых инструментов школьного курса алгебры. Она позволяет:

устно находить корни приведённого квадратного уравнения с целыми коэффициентами;
проверять правильность найденных корней;
составлять уравнения по известным корням;
исследовать знаки корней без вычисления дискриминанта;
решать задачи на симметрические выражения, содержащие корни (например, x₁² + x₂², 1/x₁ + 1/x₂).

В высшей математике теорема служит отправной точкой для изучения симметрических многочленов, теории Галуа и алгебраических уравнений общего вида.

¶Типичные ошибки

При использовании теоремы Виета важно помнить, что формулы для суммы и произведения корней приведены для уравнения, записанного в стандартном виде. Если уравнение не приведено, коэффициенты следует разделить на старший коэффициент a. Кроме того, теорема применима только тогда, когда корни существуют; при отрицательном дискриминанте в действительных числах соотношения теряют смысл, хотя формально сохраняются для комплексных корней.

¶Связь с дискриминантом

Теорема Виета и дискриминант дополняют друг друга. Дискриминант D = b² − 4ac показывает, существуют ли действительные корни и сколько их. Теорема Виета при известном существовании корней позволяет найти их сумму и произведение, не решая уравнение. Совместное применение этих инструментов даёт полную информацию о корнях квадратного уравнения.

Источники: учебники алгебры для средней школы, справочники по элементарной и высшей математике, историко-математические издания о Ф. Виете.