Тессеракт — четырёхмерный гиперкуб¶

Тессеракт — четырёхмерный гиперкуб, гиперкубическое многогранное тело в четырёхмерном евклидовом пространстве; геометрическая фигура, являющаяся четырёхмерным аналогом куба. Термин образован от греческих слов «τέσσερις» (четыре) и «ἕδρα» (основание, грань) и введён английским математиком Чарльзом Говардом Хинтоном в 1880-х годах. Тессеракт состоит из 8 трёхмерных граней-кубов, 24 квадратных граней, 32 рёбер и 16 вершин.

¶Определение и строение

Тессеракт относится к классу n-мерных гиперкубов — обобщений куба на произвольное число измерений. Куб — это трёхмерный гиперкуб (3-куб), построенный из четырёх вершин квадрата, вытянутых в третье измерение. Аналогично тессеракт получается «вытягиванием» трёхмерного куба в четвёртое измерение, недоступное прямому восприятию человека.

Число элементов тессеракта соответствует биномиальному коэффициенту: для n-мерного гиперкуба число k-мерных граней равно C(n+1, k+1). Для тессеракта (n = 4):

Сумма чередующихся чисел граней (16 − 32 + 24 − 8) равна нулю, что подтверждает выполнение обобщённого равенства Эйлера для четырёхмерных многогранников.

¶Математическое описание

Тессеракт можно задать в декартовых координатах четырёхмерного пространства как множество точек (x₁, x₂, x₃, x₄), где каждая координата принимает значение ±1. Это прямое обобщение определения куба: куб в трёхмерном пространстве задаётся условиями ±1 для трёх координат.

В проекционном представлении тессеракт часто изображается как два вложенных друг в друга куба, соединённые рёбрами между соответствующими вершинами. Такая картинка является трёхмерной проекцией четырёхмерного тела, подобно тому как двумерная проекция куба (например, куб в перспективе или «развёртка» куба) искажает его истинные пропорции.

¶Развёртка

Как куб можно разрезать и разложить на шесть квадратов (крестообразная развёртка), так и тессеракт допускает разложение на восемь кубов. Наиболее известная развёртка тессеракта — «крест», состоящий из восьми кубов, расположенных так, что они образуют трёхмерный крест, который при складывании в четырёхмерном пространстве воссоздаёт тессеракт. Всего известно 260 различных развёрток тессеракта (в отличие от 11 развёрток куба).

¶Аналогия с квадратом и кубом

Построение тессеракта иллюстрируется последовательным увеличением размерности:

• Квадрат (2-куб) — четырёхугольник, образованный двумя параллельными отрезками, соединёнными перпендикулярами.
• Куб (3-куб) — тело, образованное двумя параллельными квадратами, соединёнными рёбрами, перпендикулярными плоскости каждого из них.
• Тессеракт (4-куб) — тело, образованное двумя параллельными трёхмерными кубами, соединёнными рёбрами в четвёртом измерении.

При переходе от фигуры к фигуре число вершин удваивается: 4 → 8 → 16.

¶Перспектива и восприятие

Человек воспринимает пространство в трёх измерениях, поэтому четырёхмерное тело невозможно увидеть непосредственно. Математики и художники используют несколько способов его визуализации:

• Стереографическая проекция — отображение тессеракта на трёхмерное пространство, сохраняющее углы (конформное отображение).
• Перспективная проекция — аналог перспективы в живописи, при которой часть кубов-граней тессеракта кажется больше (ближние) и меньше (дальние).
• Поворот в четырёхмерном пространстве — при вращении тессеракта вокруг плоскости в 4D его трёхмерная проекция меняется: кубы «протискиваются» друг через друга, что создаёт характерные анимации, распространённые в интернете.

¶История

Понятие четырёхмерных многогранников развивалось в XIX веке параллельно с работами по неевклидовой геометрии. Шотландский физик Уильям Роуэн Гамильтон в 1843 году открыл кватернионы — алгебраическую структуру, естественно описывающую повороты в четырёхмерном пространстве. Чарльз Говард Хинтон, работавший над визуализацией высших измерений, предложил термин «тессеракт» и создал серию наглядных пособий для обучения «четвёртому измерению». Математическое изучение многогранников обобщённой размерности продолжили Скиптон, Шлефли и другие исследователи.

¶Тессеракт в культуре

Образ тессеракта широко используется в научной фантастике и кинематографе. В романе Мадлен Л’Энгл «Мадлен и чёрный кролик» (1962) тессеракт называется «тессер» и служит средством перемещения в пространстве и времени. В фильме «Интерстеллар» (2014) Кристофера Нолана финальная сцена происходит внутри четырёхмерного пространства-гиперкуба, где гравитация передаётся через дополнительное измерение. В комиксах и фильмах по вселенной Marvel тессеракт — артефакт, связанный с Камнем Пространства.

¶См. также

• Гиперкуб
• Кватернионы
• Четырёхмерное пространство
• Многогранник

¶Источники

• Коксетер H.S.M. Regular Polytopes. — New York: Dover Publications, 1973.
• Хинтон Ч. Г. Измерения пространства. — М., 1906.
• Бурлаков В. Н. Введение в геометрию высших размерностей. — М.: Наука, 1990.
• Рид М. Гиперкубы // Квант. — 1983.