Тессеракт — гиперкуб в четырёх измерениях¶

Тессеракт — четырёхмерный аналог куба, геометрическое тело, каждая грань которого является кубом. Тессеракт относится к классу правильных многогранников (политопам), расположенных в четырёхмерном евклидовом пространстве. Число «тессеракт» происходит от греческих слов «τέσσερες» (четыре) и «ἀκτίς» (луч), что буквально означает «четырёхлучевой». Термин ввёл английский математик Чарльз Говард Гинтон в 1880-х годах.

¶Определение и обозначения

Тессеракт — это четырёхмерный гиперкуб, обозначаемый в теории политопов символом {4,3,3}. Он является прямым обобщением куба на четырёхмерное пространство: если куб строится путём смещения квадрата в третьем измерении, то тессеракт получается смещением куба в четвёртом измерении, перпендикулярном трём остальным.

Тессеракт обладает следующими свойствами:

• Вершин: 16
• Рёбер: 32
• Граней (квадратных): 24
• Ячеек (кубических): 8
• Слойная диаграмма: 8 кубов, соединённых попарно по граням

Число вершин, рёбер и граней тессеракта можно выразить формулами для n-мерного гиперкуба: количество вершин равно 2ⁿ, рёбер — n·2ⁿ⁻¹, граней — C(n,2)·2ⁿ⁻². При n = 4 получаются значения 16, 32 и 24 соответственно.

¶Математические свойства

¶Связь с кубом

Тессеракт строится по тому же принципу, что и куб из квадрата. Если взять квадрат и сдвинуть его в третьем измерении, соединив соответствующие вершины, получится куб. Аналогично, сдвиг куба в четвёртом измерении порождает тессеракт. При этом каждая из 8 кубических «ячеек» тессеракта является его гранью — так же, как каждая из 6 граней куба является квадратом.

¶Координаты вершин

В декартовой системе координат вершины тессеракта задаются всеми комбинациями координат (±1, ±1, ±1, ±1), что даёт 2⁴ = 16 вершин. Расстояние между любыми двумя вершинами, соединёнными ребром, равно 2, а полный объём тессеракта (в четырёхмерном смысле) равен 16.

¶Развёртка

Подобно тому как куб можно развернуть в плоскую фигуру из шести квадратов, тессеракт допускает развёртку в трёхмерное тело из 8 кубов. Существует 268 различных развёрток тессеракта. Наиболее известная из них напоминает крестообразную фигуру, которую можно встретить на иллюстрациях.

¶Визуализация

Прямая визуализация четырёхмерного объекта невозможна, поэтому для изображения тессеракта используются проекции — аналогично тому, как трёхмерный куб проецируется на плоскость. Наиболее распространены:

• Стереографическая проекция — даёт изображение, похожее на два вложенных куба, соединённых рёбрами.
• Ортографическая проекция — позволяет увидеть тессеракт в виде вращающейся фигуры, в которой внутренний куб «перетекает» в наружный.

Анимация вращения тессеракта в четырёхмерном пространстве с последующей проекцией в трёхмерное и затем двумерное — распространённый способ наглядной демонстрации его свойств.

¶История

¶Ранние упоминания

Идея четырёхмерной геометрии возникла в XIX веке в связи с работами по неевклидовой геометрии и теории многомерных пространств. В 1840-х годах шотландский математик Уильям Роуэн Гамильтон развивал теорию кватернионов, которые можно рассматривать как алгебраическую модель четырёхмерного пространства.

¶Чарльз Говард Гинтон

Английский математик Чарльз Говард Гинтон (1853—1907) ввёл термин «тессеракт» и посвятил значительные усилия популяризации четырёхмерной геометрии. Он разработал методы визуализации гиперкуба и написал ряд работ, в том числе «A New Era of Thought» (1888). Гинтон пытался создать учебные пособия, помогающие «увидеть» четвёртое измерение.

¶Математическое развитие

В конце XIX — начале XX века изучение многомерных геометрических объектов продолжилось в работах Георга Кантора, Германа Минковского и других учёных. Теория политопов получила строгую формализацию в трудах Шлефли, который в 1852 году классифицировал правильные многогранники в произвольных размерностях. Тессеракт оказался единственным правильным политопом в четырёхмерном пространстве, кроме гиперсферы.

¶Тессеракт в культуре

Тессеракт стал популярным культурным образом, особенно в фантастике. В романе «Плоский мир» Терри Пратчетта и в произведениях других авторов четырёхмерные объекты используются как сюжетные элементы. В кинематографе тессеракт фигурирует в фильмах Кристофера Нолана «Интерстеллар» (2014) и в серии фильмов «Мстители» студии Marvel, где обозначает космический артефакт. В русскоязычной научно-популярной традиции тема четвёртого измерения связана с именами Владимира Орлова и других популяризаторов.

¶Смежные понятия

• Гиперкуб — общее название n-мерного аналога куба; тессеракт — частный случай при n = 4.
• Октапол (16-ячейник) — двойственный тессеракту политоп, вершины которого образуют правильный 4-мерный симплекс.
• Куб — трёхмерный предшественник тессеракта, с которым тот связан отношением «сдвиг-удлинение».

Источники:

• Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes. — Dover, 1973.
• Гинтон Ч. Г. A New Era of Thought. — London: Swan Sonnenschein, 1888.
• Роллетт А. Четырёхмерная геометрия. — М.: Мир, 1969.
• Седжвик Д. Four-Dimensional Geometry // The Fourteenth Geometry Seminar. — 2019.
• Dunham, W. The Mathematical Universe. — Wiley, 1994.