Тождества Бианки

Тождества Бианки — это совокупность дифференциальных тождеств, которым удовлетворяет тензор кривизны Римана в римановой геометрии и общей теории относительности. Они являются фундаментальными соотношениями, связывающими ковариантные производные тензора кривизны, и играют ключевую роль в математическом аппарате дифференциальной геометрии и физики гравитации. Названы в честь итальянского математика Луиджи Бианки, который впервые систематически исследовал их в 1902 году, хотя частные случаи были известны ранее.

История открытия

Первое тождество, известное как алгебраическое тождество Бианки (или первое тождество Бианки), было фактически открыто Грегорио Риччи-Курбастро в 1880-х годах в рамках развития тензорного анализа. Однако именно Луиджи Бианки в 1902 году в своей работе «Sui simboli a quattro indici e sulla curvatura di Riemann» (О символах с четырьмя индексами и о кривизне Римана) впервые сформулировал дифференциальное тождество, которое теперь носит его имя. Бианки показал, что ковариантная производная тензора кривизны удовлетворяет циклическому соотношению.

Впоследствии, в 1915–1916 годах, Альберт Эйнштейн и Марсель Гроссман, а также независимо Давид Гильберт, использовали дифференциальное тождество Бианки для вывода уравнений гравитационного поля в общей теории относительности. В 1917 году Герман Вейль придал тождествам современную форму, связав их с принципом сохранения энергии-импульса.

Определение и обозначения

Тождества Бианки формулируются в терминах тензора кривизны Римана \( R_{abcd} \), который определяется через ковариантные производные и коммутатор векторных полей. В римановой геометрии с метрическим тензором \( g_{ab} \) и симметричной связностью Леви-Чивиты (без кручения) тензор кривизны обладает следующими симметриями:

• Антисимметрия по первой и второй парам индексов: \( R_{abcd} = -R_{bacd} = -R_{abdc} \).
• Симметрия при перестановке пар: \( R_{abcd} = R_{cdab} \).
• Циклическое тождество (первое тождество Бианки): \( R_{abcd} + R_{acdb} + R_{adbc} = 0 \).

Первое (алгебраическое) тождество Бианки

Первое тождество Бианки, также называемое алгебраическим тождеством Бианки, представляет собой циклическое соотношение для тензора кривизны: \[ R_{abcd} + R_{acdb} + R_{adbc} = 0. \] Это тождество является следствием симметрий тензора кривизны и отсутствия кручения связности. Оно выполняется для любой метрической связности без кручения. В компонентной записи с использованием символов Кристоффеля оно выражает условие, что ковариантная производная от метрического тензора равна нулю.

Второе (дифференциальное) тождество Бианки

Второе тождество Бианки, или дифференциальное тождество Бианки, связывает ковариантные производные тензора кривизны: \[ \nabla_e R_{abcd} + \nabla_c R_{abde} + \nabla_d R_{abec} = 0, \] где \( \nabla \) обозначает ковариантную производную. В более компактной форме его часто записывают как: \[ \nabla_{[e} R_{ab]cd} = 0, \] где квадратные скобки обозначают антисимметризацию по индексам \( e, a, b \). Это тождество является дифференциальным законом, которому подчиняется тензор кривизны.

Свёрнутые тождества Бианки

Путём свёртки (суммирования по повторяющимся индексам) дифференциального тождества Бианки можно получить важные следствия. Свёртка по индексам \( a \) и \( c \) даёт: \[ \nabla_e R_{bd} - \nabla_d R_{be} + \nabla_a R^a_{bde} = 0, \] где \( R_{bd} = R^a_{bad} \) — тензор Риччи. Дальнейшая свёртка по индексам \( b \) и \( d \) приводит к: \[ \nabla_e R - 2 \nabla_d R^d_e = 0, \] или, что эквивалентно: \[ \nabla^a \left( R_{ab} - \frac{1}{2} R g_{ab} \right) = 0. \] Величина \( G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2} R g_{ab} \) называется тензором Эйнштейна. Таким образом, свёрнутые тождества Бианки утверждают, что ковариантная дивергенция тензора Эйнштейна тождественно равна нулю: \[ \nabla^a G_{ab} = 0. \]

Применение в общей теории относительности

В общей теории относительности (ОТО) тождества Бианки имеют фундаментальное значение. Уравнения Эйнштейна имеют вид: \[ G_{ab} + \Lambda g_{ab} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{ab}, \] где \( T_{ab} \) — тензор энергии-импульса материи, \( \Lambda \) — космологическая постоянная. Из свёрнутых тождеств Бианки следует, что ковариантная дивергенция левой части равна нулю: \[ \nabla^a (G_{ab} + \Lambda g_{ab}) = 0. \] Это автоматически влечёт сохранение тензора энергии-импульса: \[ \nabla^a T_{ab} = 0. \] Таким образом, тождества Бианки обеспечивают самосогласованность уравнений Эйнштейна: они гарантируют, что уравнения поля не противоречат закону сохранения энергии-импульса. Более того, они показывают, что только 6 из 10 компонент уравнений Эйнштейна являются независимыми, что соответствует калибровочной свободе выбора координат.

Применение в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии тождества Бианки используются для изучения кривизны многообразий. Они являются следствием тождества Якоби для ковариантных производных и играют роль, аналогичную тождествам Бьянки в теории групп Ли. В римановой геометрии они позволяют выводить соотношения между различными кривизнами, например, секционной кривизной и тензором Риччи. В случае многообразий с кручением (например, в геометрии с кручением Картана) тождества Бианки модифицируются, включая дополнительные члены, связанные с тензором кручения.

Обобщения и модификации

Тождества Бианки могут быть обобщены на пространства с кручением и неметрической связностью. В таких случаях они принимают вид:

• Первое тождество: \( R_{abcd} + R_{acdb} + R_{adbc} = \nabla_{[a} T_{bc]d} + T_{[ab}^e T_{c]ed} \), где \( T_{abc} \) — тензор кручения.
• Второе тождество: \( \nabla_{[e} R_{ab]cd} = T_{[ea}^f R_{b]fcd} \).

В некоммутативной геометрии и квантовой теории поля тождества Бианки также находят применение, например, в контексте калибровочных теорий, где они соответствуют тождествам Бьянки для напряжённости поля.

Интересные факты

• Луиджи Бианки опубликовал свои тождества в 1902 году, но они оставались малоизвестными до тех пор, пока Эйнштейн не использовал их в 1915 году для вывода уравнений ОТО. Сам Эйнштейн первоначально не знал о работе Бианки и переоткрыл тождества независимо.
• Тождества Бианки являются дифференциальным аналогом тождеств Якоби для алгебр Ли. В терминах форм кривизны \( \Omega \) и связности \( \omega \) они записываются как \( d\Omega + \omega \wedge \Omega - \Omega \wedge \omega = 0 \), что является прямым следствием тождества Якоби.
• В контексте общей теории относительности свёрнутые тождества Бианки иногда называют «тождествами Эйнштейна», хотя исторически они были открыты Бианки.

Источники

• Бианки Л. «Sui simboli a quattro indici e sulla curvatura di Riemann», Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, 1902.
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. «Гравитация», том 1, Мир, 1977.
• Вейль Г. «Пространство, время, материя», Наука, 1970.
• Картан Э. «Геометрия римановых пространств», Мир, 1967.
• Хокинг С., Эллис Дж. «Крупномасштабная структура пространства-времени», Мир, 1977.