Тригонометрическая функция¶
Тригонометрическая функция — функция угла, определяемая отношением сторон прямоугольного треугольника или координатами точки на единичной окружности. К основным тригонометрическим функциям относятся синус, косинус, тангенс и котангенс; из них выводятся секанс, косеканс и ряд производных функций. Тригонометрические функции периодичны, их область определения — вся числовая прямая (для синуса и косинуса) или прямая без точек разрыва (для тангенса и котангенса). В школьном и вузовском курсе математики они составляют основу раздела тригонометрии и находят применение в физике, инженерии, астрономии и теории чисел.
¶Определения
¶Через прямоугольный треугольник
Для острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника:
- $\sin \alpha$ — отношение противолежащего катета к гипотенузе;
- $\cos \alpha$ — отношение прилежащего катета к гипотенузе;
- $\tan \alpha = \sin \alpha / \cos \alpha$ — отношение противолежащего катета к прилежащему;
- $\cot \alpha = \cos \alpha / \sin \alpha$ — отношение прилежащего катета к противолежащему.
Такое определение допускает углы от 0° до 90°. Для расширения области определения до произвольных углов используется окружностная модель.
¶Через единичную окружность
Пусть точка $M(\cos \alpha, \sin \alpha)$ — конец радиуса, повёрнутого на угол $\alpha$ относительно положительного направления оси абсцисс. Тогда синус и косинус произвольного (в том числе отрицательного и большего 360°) угла определяются как координаты этой точки. Тангенс и котангенс через координаты выражаются как $\tan \alpha = y/x$ и $\cot \alpha = x/y$.
¶Через ряды Тейлора
Для вычислений в математическом анализе тригонометрические функции определяются степенными рядами:
$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$$
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$$
Эти ряды сходятся при любых вещественных $x$ и служат одним из строгих способов введения функций синус и косинус.
¶Основные свойства
| Функция | Область определения | Область значений | Период | Чётность |
|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | нечётная |
| $\cos x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | чётная |
| $\tan x$ | $\mathbb{R} \setminus \{\pi/2 + \pi n\}$ | $\mathbb{R}$ | $\pi$ | нечётная |
| $\cot x$ | $\mathbb{R} \setminus \{\pi n\}$ | $\mathbb{R}$ | $\pi$ | нечётная |
Синус и косинус — непрерывные и дифференцируемые функции; производная синуса равна косинусу, производная косинуса — минус синусу. Тангенс и котангенс непрерывны на своём определении, но имеют вертикальные асимптоты в точках разрыва.
¶Основные формулы
¶Формулы приведения
Формулы приведения сводят вычисление тригонометрических функций произвольного угла к функциям острого угла:
- $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$, $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$, $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$;
- $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$, $\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$, $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$;
- аналогичные соотношения для тангенса и котангенса.
¶Формулы суммы и разности
$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$
$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$
Из них выводятся формулы двойного угла ($\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$) и формулы приведения степеней.
¶Тождество Пифагора
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
Это центральное тождество тригонометрии, непосредственное следствие определения через единичную окружность.
¶Обратные тригонометрические функции
Поскольку тригонометрические функции не являются взаимно однозначными, для них вводятся обратные функции с ограниченной областью значений:
- $\arcsin x$ (арксинус) — область определения $[-1, 1]$, область значений $[-\pi/2, \pi/2]$;
- $\arccos x$ (арккосинус) — область определения $[-1, 1]$, область значений $[0, \pi]$;
- $\arctan x$ (арктангенс) — область определения $\mathbb{R}$, область значений $(-\pi/2, \pi/2)$;
- $\operatorname{arccot} x$ (арккотангенс) — область определения $\mathbb{R}$, область значений $(0, \pi)$.
¶Комплексные и показательные обобщения
Эйлер установил связь между тригонометрическими и показательными функциями:
$$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$
При $x = \pi$ формула даёт знаменитое соотношение $e^{i\pi} + 1 = 0$. Через показательную функцию можно записать:
$$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \quad \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$
Эти представления упрощают доказательство тригонометрических тождеств и вычисление интегралов.
¶История
Термин «синус» происходит от латинского sinus («изгиб», «завиток»), являющегося переводом арабского jayb, введённого индийскими математиками (Арьябхата, V век) как ardha-jya («половина хорды»). Средневековые европейские учёные, в том числе Леонардо Пизанский, познакомились с индийско-арабской тригонометрией через арабские переводы. Леонардо Витрувий Кордонццо в XVI веке ввёл тангенс и секанс. Развитие аналитической тригонометрии связано с именами Эйлера, Бернулли и Лакруа.
¶Применение
Тригонометрические функции описывают колебательные процессы: в механике — движение маятника и колебания пружины, в электротехнике — переменный ток и электромагнитные волны, в акустике — звуковые волны. В астрономии они применяются для вычисления положений небесных тел. В теории чисел изучаются тригонометрические суммы, введённые Гауссом и развитые Виноградовым. В компьютерной графике тригонометрические функции используются для поворота и проецирования объектов.
¶Источники
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике
- Зорич В. А. Математический анализ
- Пряников Н. Н. Тригонометрия