Открыть сервис
Главная → Блог → Синус и косинус в математике

Синус и косинус в математике

Синус и косинус — тригонометрические функции угла, выражающие отношение сторон прямоугольного треугольника и одновременно являющиеся координатами точки на единичной окружности. Вместе с тангенсом и котангенсом они образуют базовый набор тригонометрических функций, широко применяемых в геометрии, физике, инженерии и анализе. Синус обычно обозначается sin, косинус — cos.

Определение

В прямоугольном треугольнике для острого угла α:

  • синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α = a / c;
  • косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = b / c.

Более общее определение даётся через единичную окружность (окружность радиуса 1 с центром в начале координат). Если точка на окружности образует с положительным направлением оси абсцисс угол α, то её координаты равны (cos α; sin α). Такое определение позволяет распространить функции на любые, в том числе отрицательные и превышающие 360° углы, а также на действительные числа.

Связь между функциями

Основное тригонометрическое тождество вытекает из теоремы Пифагора:

sin²α + cos²α = 1.

Из него следуют и другие соотношения:

  • sin(α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β;
  • cos(α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β;
  • sin 2α = 2 sin α · cos α;
  • cos 2α = cos²α − sin²α.

Косинус связан с синусом сдвигом аргумента: cos α = sin(α + π/2). Обе функции периодичны с периодом 2π.

Табличные значения

Для наиболее употребительных углов значения принимают простой вид:

Угол α0°30°45°60°90°
sin α01/2√2/2√3/21
cos α1√3/2√2/21/20

Свойства и графики

Синус — нечётная функция (sin(−α) = −sin α), косинус — чётная (cos(−α) = cos α). График синуса называется синусоидой, график косинуса — косинусоидой; это одна и та же волна, сдвинутая по горизонтали. Обе функции непрерывны и бесконечно дифференцируемы на всей числовой прямой. Их производные:

  • (sin x)′ = cos x;
  • (cos x)′ = −sin x.

Область значений обеих функций — отрезок [−1; 1]. Нули синуса находятся в точках x = πn, нули косинуса — в точках x = π/2 + πn, где n — целое число.

История

Понятия восходят к античной астрономии и геометрии. Таблицы хорд, близкие по смыслу к синусам, составляли древнегреческие учёные, в частности Гиппарх и Птолемей. Индийские математики, среди которых Ариабхата, ввели функцию, соответствующую половине хорды, — от санскритского термина «ардха-джива» происходит арабское «джайб», а затем латинское sinus. Косинус возник как «синус дополнения» (sinus complementi), откуда и сокращение cos. В Европе систематическое изложение тригонометрии дал Леонард Эйлер, связавший функции с комплексными числами и экспонентой.

Формула Эйлера

Связь тригонометрии с комплексными числами выражает формула Эйлера:

e^(iα) = cos α + i · sin α.

Из неё выводятся выражения синуса и косинуса через экспоненты, что удобно в анализе и физике:

sin α = (e^(iα) − e^(−iα)) / (2i), cos α = (e^(iα) + e^(−iα)) / 2.

Применение

Синус и косинус описывают периодические процессы и колебания:

Теорема косинусов c² = a² + b² − 2ab·cos γ обобщает теорему Пифагора на произвольные треугольники и служит основным инструментом вычисления сторон и углов.

Обратные функции

Функции, обратные к синусу и косинусу, называются арксинусом (arcsin) и арккосинусом (arccos). Они многозначны; для однозначности выбирают главные ветви: arcsin x определён на [−1; 1] со значениями в [−π/2; π/2], arccos x — на [−1; 1] со значениями в [0; π].

Значение в образовании

В России синус и косинус изучаются в школьном курсе геометрии и алгебры, обычно начиная с 8–9 классов, а затем углублённо в старших классах через тригонометрические уравнения и преобразования. Они входят в программы вступительных испытаний и ЕГЭ по математике, а также лежат в основе вузовских курсов математического анализа, физики и теоретической механики.

Источники: учебники по алгебре и началам анализа, курсы геометрии, справочники по тригонометрии, материалы по истории математики.

Похожие материалы